不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
注意ab b a 222≥+的变式应用。
常用2222b a b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c 均为正数,求证:ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ,0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a ∴ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。
2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证:31222≥++c b a证:2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(444c b a abc c b a ++>++证:∵22442b a b a >+22442c b c b >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++证明:∵)(22222222)(22b a b a b a b aab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a b a+≥+,两边开平方得)(222222b a b a b a+≥+≥+ 同理可得)(2222c b c b+≥+)(2222a c a c+≥+三式相加,得 )(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ,证:9)11)(11(≥++y x 。
证:)1)(1()11)(11(y y x x y x y x ++++=++)(25)2)(2(y xx y y x x y ++=++=9225=⋅+≥ 6、已知.9111111,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∈+b a b a R b a 求证: 策略:由于的背后隐含说明1,,4121,,2=+∈≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+≤=+∈++b a R b a ab b a ab b a R b a .41 ≤ab 着一个不等式 证明:411,,≤∴=+∈+ab b a R b a 。
.91111.981211111111111 ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=+≥+=+++=+++=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab ab ab b a ab b a b a 而三、分析法分析法的思路是“执果索因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式。
7、已知a 、b 、c 为正数,求证:)3(3)2(23abc c b a ab b a -++≤-+证:要证:)3(3)2(23abc c b a ab b a -++≤-+只需证:332abc c ab -≤- 即:332abc ab c ≥+∵ 3333abc ab ab c ab ab c =≥++成立∴ 原不等式成立8、),0(∞+∈c b a 、、且1=++c b a ,求证3≤++c b a 。
证:3≤++c b a 3)(2≤++⇔c b a 即:2222≤++ac bc ab∵b a ab +≤2 c b bc +≤2 c a ac +≤2即2)()()(222=+++++≤++c a c b b a ac bc ab ∴原命题成立 四、换元法换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目的。
9、1<b ,求证:1)1)(1(22≤--+b a ab 。
证明:令αsin =a 2ππα+≠k Z ∈k βsin =b2ππβ+≠k Z ∈k左βαβαβαβαcos cos sin sin cos cos sin sin ±=⋅+=1)cos(≤±=βα∴1)1)(1(22≤--+b a ab10、122=+y x ,求证:22≤+≤-y x 证:由122=+y x 设αcos =x ,αsin =y ∴ ]2,2[)4sin(2sin cos -∈+=+=+παααy x∴ 22≤+≤-y x11、已知a>b>c,求证:.411ca cb b a -≥-+- 证明:∵a -b>0, b -c>0, a -c>0 ∴可设a -b=x, b -c=y (x, y>0) 则a -c= x + y, 原不等式转化为证明y x y x +≥+411即证4)11)((≥++y x y x ,即证42≥++x y y x ∵2≥+xy y x ∴原不等式成立(当仅x=y 当“=”成立)12、已知1≤x 2+y 2≤2,求证:21≤x 2-xy +y 2≤3. 证明:∵1≤x 2+y 2≤2,∴可设x = rcos θ,y = rsin θ,其中1≤r 2≤2,0≤θ<π2.∴x 2-xy +y 2= r 2-r 2sin θ2= r 2(1-21sin θ2),∵21≤1-21sin θ2≤23,∴21r 2≤r 2(1-21sin θ2)≤23r 2,而21r 2≥21,23r 2≤3∴ 21≤x 2-xy +y 2≤3.13、已知x 2-2xy +y 2≤2,求证:| x +y |≤10.证明:∵x 2-2xy +y 2= (x -y)2+y 2,∴可设x -y = rcos θ,y = rsin θ,其中0≤r ≤2,0≤θ<π2.∴| x +y | =| x -y +2y | = | rcos θ+2rsin θ| = r|5sin(θ+ractan 21)|≤r 5≤10. 14、解不等式15+--x x >21 解:因为22)1()5(++-x x =6,故可令 x -5 =6 sin θ,1+x =6 cos θ,θ∈[0,2π] 则原不等式化为 6 sin θ-6 cos θ >21所以6 sin θ >21+6 cos θ 由θ∈[0,2π]知21+6 cos θ>0,将上式两边平方并整理,得48 cos 2θ+46 cos θ-23<0解得0≤cos θ<246282-所以x =6cos 2θ-1<124724-,且x ≥-1,故原不等式的解集是{x|-1≤x <124724-} .15、-1≤21x --x ≤2.证明:∵1-x 2≥0,∴-1≤x ≤1,故可设x = cos θ,其中0≤θ≤π. 则21x --x =θ2cos 1--cos θ= sin θ-cos θ=2sin(θ-4π),∵-4π≤θ-4π≤43π,∴-1≤2sin(θ-4π)≤2,即-1≤21x --x ≤2. 五、增量代换法在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a >b >c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简. 16、已知a ,b ∈R ,且a +b = 1,求证:(a +2)2+(b +2)2≥225. 证明:∵a ,b ∈R ,且a +b = 1,∴设a =21+t ,b=21-t , (t ∈R) 则(a +2)2+(b +2)2= (21+t +2)2+(21-t +2)2= (t +25)2+(t -25)2= 2t 2+225≥225.∴(a +2)2+(b +2)2≥225.六、利用“1”的代换型17、.9111 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证:且已知策略:做“1”的代换。
证明: c c b a b c b a a c b a c b a ++++++++=++111922233=+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b .七、反证法反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”,采用反证法时,应从与结论相反的假设出发,推出矛盾的过程中,每一步推理必须是正确的。
18、若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2.证明:反证法假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8,∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2),又p >0,q >0 ⇒ p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2<0,矛盾.故假设p +q >2不成立,∴p +q ≤2.19、已知a 、b 、∈c (0,1),求证:b a )1(-,c b )1(-,a c )1(-,不能均大于41。
证明:假设b a ⋅-)1(,c b ⋅-)1(,a c ⋅-)1(均大于41∵ )1(a -,b 均为正 ∴2141)1(2)1(=>⋅-≥+-b a b a同理2141)1(2)1(=>⋅-≥+-c b cb 212)1(>+-a c ∴2121212)1(2)1(2)1(++>+-++-++-a c c b b a∴ 2323>不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确20、已知a,b,c ∈(0,1),求证:(1-a )b, (1-b )c, (1-c )a 不能同时大于41。