平面向量1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量2、 向量的表示方法（1）几何表示：以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB u u u r ，如果有向线段AB u u u r表示一个向量，通常我们就说向量AB u u u r.（2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a ， b ， c …向量手写时 带箭头的小写字母 a ，b r…3、向量点的长度（模）向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB u u u r |、｜a｜4、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行a ＝0 ｜a｜＝0单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量记作a ∥b5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为b a即大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x6、 对于任意非零向量的单位向量是a｜a ｜.7、向量的加法（1）三角形法则设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r对于零向量与任意向量a的和有a a a 00（2）平行四边形法则已知两个不共线的向量a ，b r，做,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC u u u r =a +b r.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．8、向量加法的运算律（1）交换律 a +b r =b r +a（2）结合律 (a +b )+c =a +(b +c ) 9、向量的减法)(b a b a即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量图：10、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量. 记作a（1）)(a=a ，即a 与a互为相反向量；（2）若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 ；（3）a +(a )=(a )+a =0 ；（4）零向量的相反向量仍是零向量（5）对于用起点和终点表示的向量，则有AB u u u r = —BA,即AB u u u r和- BA 互为相反向量11、已知向量α，b ，则| |α|-|b| |≤|α±b |≤|α|±| b|12、向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（1）a a；（2）当0 时，a 与a同向当0 时，a 与a异向当0 或a =0时，0 a ，方向是任意的13、向量数乘的运算律 （1） λ(μa ) =(λμ)a（2）(λ+μ) a =λa +μa（3）λ（a +b r ）=λa +λb r（4）（—λa ）= —（λa ）=λ（—a ） λ（a —b r ）=λa -λbr14、向量共线判定定理当向量a ≠0，对于向量b r ，如果有一个实数 ，使b =a ，那么a b r 共线. 向量b 与向量a （a ≠0）共线 有且只有一个实数 ，使得b =a .15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b r以及任意实数λ、μ1 、μ2 恒有 （μ1a ±μ2b r ）= μ1a+ μ2b r16、平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底17、a b r 两向量夹角θ范围[0°~180°] θ=0° a b r同向图 θ=180° a b r同向θ=90° a b r 垂直，记为a ┴b r18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量 19、平面向量的坐标表示 （1）直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使a =x i+y j ，则把有序数对（x ，y ）叫做向量a的坐标。
（2）坐标表示在向量a 的直角坐标中，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a=（x ，y ）叫做向量的坐标表示。
（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0） j=（0,1） 0=（0,0）20、若 1122,,,a x y b x y r r和实数λ（1） 1212,a b x x y y rr（2） a r=( x 1, y 1)（3） 若 2211,,,y x B y x A ，则AB u u u r=OB-OA=(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1)21、向量平行条件（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，1221//0a b x y x y rr（2）若 1122,,,a x y b x y r r，如果b r 不平行于坐标轴，即x 2≠0 y 2≠0 ，则a //b r⇔x1x2=y1y2即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x 2·y 2≠0）22、向量的数量积已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos其中 是a r 与b r 的夹角，︱a r ︱cos 叫做向量a r 在b r方向上的投影。
规定00a r r23、数量积的几何意义a r ·b r 等于a r 的长度︱a r︱与b r 在a r 方向上的投影︱b r ︱cos 的乘积24、a r 与b r都是非零向量，它们的夹角为 （1）a b r r ⇔ a ·b r= 0（2）a r b r 同向时 a ·b r =︱a r︱·︱b r ︱a rb r 反向时 a ·b r = —︱a r︱·︱b r ︱（3）22||a a a a r rr r或︱a r ︱=√a ·a =√a 2（4）cos =a ·br ︱a r︱·︱b r ︱（5）|a ·b r |≤︱a r︱·︱b r ︱25、向量数量积的运算律（1）交换律：a b b a r r r r（2）结合律：a b a b a b R r r r r r r（3）分配律： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r rwhy ？ 前者表示与a 共线的向量，后者表示与向量c 共线的向量，而a与c 不一定共线。
（2）消去律不成立a b a c r r r r不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r26、平面向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =121x x y y27、垂直设两个非零向量1122(,),(,)a x y b x y r r， 则a b rr ⇔02121 y y x xa ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x28、设a=（x ，y ），则︱a r︱=√x 2+y 2设A=（x 1，y 1） B=（x 2，y 2），则AB u u u r=√（x2−x1）2+（ y2−y1）229、已知两个非零向量a r 与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （001800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =222221212121y x y x y y x x （可用此公式求两向量夹角）当1212x x y y <0， ϵ（π2，π];当1212x x y y >0， ϵ[0，π2）；当1212x x y y =0， =π2当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=180030、向量a的单位向量的坐标表示a 0=a︱a r ︱=（x ，y ）·√x 22=√x 22+√x 22a 0 为a的单位向量31、对于求直线L 1：A 1 x+B 1y+C 1=0 与直线L 2：A 2 x+B 2y+C 2=0 的夹角，则只要求与两直线平行的向量的夹角，再取这两个向量的夹角或补角，即与直线L 1 、L 2分别平行的向量m =（A 1，B 1），n =（A 2，B 2），设向量m 、 n 的夹角为cos =m·n ︱m ︱·︱ n ︱=1212√A 12+B 12·√B 12+B 22当cos <0 时，直线L 1 L 2夹角等于 π-θ 锐角 当cos >0 时，直线L 1 L 2夹角等于 θ32、三角形面积公式S =12a ·bsinC 可利用夹角公式求出sinC33、a 2=|a |（a ±b r ） （a ±b r ）2=|a ±b r |2=|a |2±2a ·b r +|b r |234、证三点共线35、直线L 的向量参数方程式 运用2.2的例一设A 、B 是直线L 上任意两点，O 是L 外一点，则对于L 上任一点P ，存在实数t ，是向量OP=（1-t ）OA+tOB当t=12时，即P 为AB 中点时，OP=12(OA+OB)正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。
则有即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。
[定理变形(3)相关结论:余弦定理如上图所示，△ABC，余弦定理可表示为：同理，也可描述为：三角形面积1.海伦公式:解释:假设有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由以上公式求得，而公式里的p为半周长。
2.，[R为外接圆半径]。