华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题考试时间：70分钟 卷面满分：120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题 (本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1．二次函数y =x 2＋2x ＋c 的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1＜x 2，点P(m ，n )是图象上一点，那么下列判断正确的是( ) A ．当n ＞0时，m ＜x 1 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，m ＜0D ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 22．已知实数a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，并目k =1a−b ＋1b−c ＋1c−a ，则直线y =－kx ＋k 一定经过( ) A ．第一、三、四象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、二、三象限D ．第二、三、四象限3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为16、22，则输出的a =(a ←a －b 的含义：将a －b 的结果赋给a )( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．144．直线l ：kx －y －2k －1=0被以A(1，0)为圆心，2为半径的⊙A 所截得的最短弦长为( ) A ．√2 B ．2 C ．2√2 D ．45．如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=4，BF ⊥AC 于F ，D 是AB 的中点，E 为AC 上一点，且2EF=AC ，则tan ∠DEF=( ) A ．√15B ．√1515C ．√154D ．14二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)．6．若a ＋b －2√a −1－4√b −2=3√c −1−12c −5，则(b −c )a 的值为__________．7．已知△ABC 的一边长为4，另外两边长恰是方程2x 2−12x ＋m ＋1=0的两实根，则实数m 的取值范围是__________．A CDEF8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，且AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得=__________．∠ADP=∠ACB，则PBPD9．有十张正面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x−a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为__________．10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足(a2018−c2018)(a2018−d2018)=2018，(b2018−c2018)(b2018−d2018)=2018，则(ab)2018−(cd)2018的值为__________．三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 11．(本小题满分16分)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1)求证：CE=CF；(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有什么数量关系？说明理由；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．12．(本小题满分16分)如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A(−1，0)，B(−1，1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1−L2相关点，例如，点P(0，1)是L1－L2相关点．(1)以下各点中，__________是L1－L2相关点(填出所有正确的序号)；①(−1，2)；②(−5，2)；③(4，2)．(2)直接在图1中画出所有L1－L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；(3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1−L2相关点．①当r=1时，求点M的纵坐标；②求r的取值范围．13．(本小题满分18分)定义：点P(x，y)为平面直角坐标系中的点，若满足x=y时，则称该点为“平衡点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，(√3，√3)都是“平衡点”．①当－1≤x≤3时，直线y=2x＋m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是__________．(2)直线y=3mx＋n－1上存在“平衡点”吗？若存在，请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线y=ax2＋bx＋1(a＞0)上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足，试求实数t的取值范围．0＜x1＜2，∣x2−x1∣=2，令t=b2－2b＋11748华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：70分钟卷面满分：120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)题号 1 2 3 4 5答案 D A B C A二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)．10．－2018 6．36 7．9<m≤17 8．√39．１２三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 11．(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△ACBE≌△CDF．∴CE=CF．……………………………4分(2)GE=BE＋GD．理由如下：∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．……………………………10分(3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC=6．已知∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE＋DG，设DE=x，则DG=x－2，∴AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4．在Rt△AED中∵DE2=AD2＋AE2，即x2=(8－x)2＋42解得x=5．∴DE=5……………………………16分12．(1)②，③是L 1－L 2相关点。

(写出一个给2分)……………………………4分(2)所有L 1－L 2相关点所组成的区域为图中阴影部分(含边界)．……………………………8分(3)①∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为L 1－L 2相关点，阴影部分关于y 轴对称， ∴⊙M 与直线AC 相切于(0，0)，或与直线BD 相切于(0，1)，如图所示． 又∵⊙M 的半径r =1，∴点M 的坐标为(0，－1)或(0，2)， 经检验：此时⊙M 与直线AD ，BC 无交点， ⊙M 上只有一个点为L 1－L 2相关点，符合题意． ∴点M 的坐标为(0，－1)或(0，2)． ∴点M 的纵坐标为－1或2．(求出一个给1分，不检验不扣分)……………………………10分 ②阴影部分关于直线y=１２对称，故不妨设点M 位于阴影部分下方，∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为L 1－L 2相关点，阴影部分关于y 轴对称， ∴⊙M 与直线AC 相切于O(0，0)，且⊙M 与直线AD 相离． 作ME ⊥AD 于E ，设AD 与BC 的交点为F ， ∴MO=r ，ME ＞r ，F(0，１２)．在Rt △AOF 中，∠AOF=90°，AO=1，OF=１２，∴AF=√AO 2＋OF 2=√52，sin ∠AFO=AO AF =2√55． 在Rt △FEM 中，∠FEM=90°， FM=FO ＋OM=r ＋１２sin ∠EFM=sin ∠AFO=2√55， ∴ME=FM ·sin ∠EFM=√5(2r ＋1)5， ∴√5(2r ＋1)5＞r ， 又∵r ＞0，∴0＜r ＜√5＋2．……………………………16分13．(1)－3≤m ≤1(2)由y =3mx ＋n －1，当y =x 时，3mx ＋n －1=x 即(3m －1)x =1－n当3m －1=0，1－n =0，即m=13，n=1时，方程有无数个解，此时直线y =x 上所有点都是“平衡点”，坐标为(x ，x )，x 为任意实数……………………6分 当3m －1=0，1－n ≠0，即m=13，n ≠1时，方程无解，此时直线y =x 上不存在“平衡点”，………………………………8分 当3m －1≠0，即m ≠13时，方程有唯一解x =1−n3m−1， 此时直线y =x 上只有一个“平衡点”，其坐标为(1−n 3m−1，1−n3m−1)，x 为任意实数…………10分(3)联立{y =ax 2＋bx ＋1y =x，消去y 并整理得：ax 2＋(b －1)x ＋1=0∵抛物线上存在两个不同的“平衡点”A(x 1，x 1)，B(x 2，x 2) ∴x 1，x 2是方程ax 2＋(b －1)x ＋1=0两个不相等的实数根 ∴x 1＋x 2=1−b a，x 1·x 2=1a ，△=(b －1)2－4a ＞0……………………………12分∵a ＞0，∴x 1x 2=1a ＞0，∴x 1、x 2同号 ∵0＜x 1＜2，∣x 2−x 1∣=2，∴2＜x 2＜4∴0＜x 1x 2＜8，0＜1a ＜8，∴a ＞18……………………………16分 t =b 2－2b ＋11748=(b －1)2＋6948=4a 2＋4a ＋6948=4(a ＋12)2＋2148，∵当a ＞－12时，t 随a 的增大而增大，a ＞18＞－12∴t ＞4(18＋12)2＋2148=2即t ＞2……………………………18分。