(8.12)
H1 (e j )
(1 cos N)2 sin 2 N
2(1 cos N) 2 sin N
2
4. 频率采样型H2(z)
8
另一个滤波器的系统函数为
H 2 (z)
N 1 H (k ) k 0 1 WNk z 1
是由N个单极点的一阶滤波器并联构成，极点正好与 梳状滤波器的一个零点(i=k)相抵消，从而使频率 ω=2πk/N上的频率响应等于H(k)。
图8.5 FIR滤波器直接型结构
等价结构
8
用转置定理（对于单个输入、单个输出的系统，通 过反转网络中的全部支路的方向，并且将其输入和 输出互换，得出的流图具有与原始流图同样的系统 传输函数。
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
y(n)
h(N-1) h(N-2) h(N-3) x(n)
h(1)
h(0)
图8.6 FIR滤波器直接型的转置结构
数字滤波器结构表示
8
数字滤波器有方框图表示法和流图表示法两种 表示方法。
x(n)
z-1
x(n-1)
单位延时
x(n)
a ax(n)
乘常数
x(n)
x(n)+x(n-1)
x(n-1) 相加
图8.2 方框图表示法
数字滤波器结构表示
8
x(n)
z-1
x(n-1)
x(n) a
ax(n)
x(n)
x(n)+x(n-1)
例8.2
8
已知FIR滤波器差分方程如下，利用直接型结构实现， 并画出结构图。
y(n) 4x(n) 6x(n 1) 5x(n 2) 6x(n 3) 4x(n 4)
解： 根据差分方程得到相应的系统函数
H (z) 4 6z 1 5z 2 6z 3 4z 4
对应的直接型结构如图所示。
1．h(n)偶对称时，FIR滤波器线性相位结构
h(n) h(N 1 n),0 n N 1
(1)N为偶数时，系统函数可进一步表示为
N 1 2
H (z) h(n)[z n z (N1n) ] n0
h(n)偶对称，N=偶数
8
N 1 2
H (z) h(n)[z n z (N1n) ] n0
z-1
z-1
z-1 z-1
h(
N
h2(
N3)
2
2)
பைடு நூலகம்
h( N 1) h( N 21)
2
y(yn()n)
4. 频率采样型
8
前面讨论了有限长序列系统函数H(z)在单位圆 上作N等分采样，这个采样值也就是h(n)的离 散傅里叶变换值H(k)，即
H (k) H (z) zwNk DFT[ h(n)]
确定 Hd(ejω)
逼 近
频率取样
Hd
e
j
2k N
H(k) IDFT
H(ejω)
z=ejω H(z)
z变换 h(n)
4. 频率采样型
8
根据第7章的讨论，用频率采样表达系统函 数的内插公式为
H (z)
(1
zN )
1 N
N 1 H (k ) k 0 1 WNk z 1
上式既包含极点，也包含零点，所以这时滤
波器具有递归结构。频率采样型结构,是两部 分级联而成，即
x(n)
z-1
z-1
z-1
z-1
-4
6
5
6
-4
y(n)
说明
8
FIR滤波器直接型结构特点如下。
(1) 实现简单，但结构相对复杂，需要N-1个延 时器和N个常系数乘法器。
(2) 系数量化会受到有限字长效应的影响，从 而产生较大误差。
2. 级联型
8
为了减少直接型结构误差，有效的方法是把高阶滤波器
分解成若干个低阶滤波器子系统。通常h(n)为实数，H(z)的零 点分布有四种可能(见第7章)。每一对共轭零点可以合成一个 二阶子系统。那么H(z)可用二阶节级联构成，每一个二阶节 控制一对零点。
点 [sos,A]=zp2sos(z,p,k); %求出各二阶节乘系数 disp('零点:');disp(z); disp('极点:');disp(p); disp('增益系数:');disp(k); disp('二阶节:');disp(real(sos));
运行结果
8
零点: 2.2601 -0.6013+0.7990i -0.6013-0.7990i 0.4425 极点: 0 0 0 0 增益系数: -4 二阶节:
FIR滤波器线性相位型结构特点
8
(1) 与前两种结构相比结构简化，乘法器个数 减半，仍需要N-1个延时器。
(2)当N为偶数时乘法器个数为N/2，N为奇数 时为(N+1)/2。
x(n) x(n)
zz--11
z-1 z-1
z-1 z-1
hh((00))
zz-1-1 hh((11))
hh((22z)-)z1-1
1.0000 -2.7026 1.0000 1.0000 0 0 1.0000 1.2026 1.0000 1.0000 0 0 所以可以得到级联型滤波器的系统函数为
H (z) 4(1 2.7026 z 1 z 2 )(1 1.2026 z 1 z 2 )
FIR滤波器级联型结构特点
8
(1) 可以有效控制滤波器的传输零点。
单位延时
乘常系数
图8.3 流图表示法
x(n-1) 相加
但从运算上看，只需要加法、单位延迟、 乘常数三种运算，因此数字滤波结构中 有三个基本运算单元，即加法器，单位 延时器，乘常系数乘法器。
例
8
例8.1 画出数字滤波器
H
(
z
)
1
0.7
z
1
1
0.1z
2
方框图及
流图表示法结构。
解：数字滤波器对应的差分方程为
N 3
H
(z)
h(
N
1)
z
(
N 1) 2
2 h(n)[z n z （N 1n) ]
2
n0
h(n)奇对称时的线性相位型结构分析方法与h(n) 偶对称时类似，这里不再雷述。
例8.4
8
FIR滤波器 H (z) 4 6z 1 5z 2 6z 3 4z 4
利用线性相位型结构实现，画出结构图。
解： 由系统函数可知，
i0
i0
1. 直接型
8
M
根据式
y(n) h(i)x(n i) i0
给定的非递归差分方程
得出直接型结构，其实现等效于卷积和，这种结构
类似于横向系统，因此直接型结构也常被称为横向
滤波器，其结构如图所示。
x(n)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
h(0)
h(1)
h(2)
h(N-2)
h(N-1)
y(n)
x(n)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
h(0)
h(1)
h(2)
z-1
h( N 2 )
2
z-1
h( N 1)
2
y(n)
h(n)偶对称，N=奇数
8
系统函数进一步表示为
H (z)
N 11 2
h(n)[z n
z (N 1n) ]
h
N
1
z
N 1 2
n0
2
可得到线性相位FIR滤波器的结构
x(n)
z-1
FIR滤波器主要结构类型和特点
8
1. 直接型:根据差分方程式给出，h(n)是有限 长序列。
2. 级联型:系统函数H(z)按照二阶因式分解后， 以级联方式实现。
3. 线性相位型:脉冲响应关于(N-1)/2呈现奇对 称或偶对称，使得乘法运算次数减半，系 统结构简化。
4. 频率采样型:是一种基于频率响应H(ejω)采 样的设计方法；
h(0) 4, h(1) 6, h(2) 5, h(3) 6, h(4) 4
例8.4结果
8
所以h(n)偶对称，对称中心在n=(N-1)/2=2处， 且N为奇数，其线性相位型结构如图所示。
x(n)
z-1
z-1
z-1
z-1
-4
6
5
y(n)
h(0) 4, h(1) 6, h(2) 5, h(3) 6, h(4) 4
关于流图表示法的定义
8
(5) 通路，从源点到阱点之间沿着箭头方向 的连续的一串支路，通路的增益是该通路上 各支路增益的乘积，如x(n)→①→②→y(n)。 (6) 回路，从一个节点出发沿着支路箭头方 向到达同一个节点的闭合通路。组成回路的 所有支路增益的乘积通常叫做回路增益。图 中有两个回路，如①→②→③→④。
H
(
z)
1
0.7
z
1 1
0.1z
2
11 1 0.2z 1 1 0.5z 1
2 3
53
1 0.2z 1 1 0.5z 1
研究数字滤波系统网络结构意义
8
(1) 滤波器的基本特性(如有限长脉冲响应FIR 与无限长脉冲响应IIR)决定了结构上有不同 的特点。 (2) 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同， 直接影响系统的运算速度，以及系统的复杂 程度和成本。 (3) 不同运算结构的误差及稳定性不同。 本章主要讨论IIR和FIR滤波器的结构及其性 能。
(2) 所需要的系数乘法器比直接型的多， 所以乘法运算量比较大。
(3) 在不考虑零系数的情况下需要乘法器 2M+1个(M为滤波器的级联子系统的个数)， 延时器N-1个。