三角函数1. 与（0°≤ ＜ 360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：终边在 x 轴上的角的集合：终边在 y 轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合：终边在 y = x 轴上的角的集合：终边在轴上的角的集合：若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 .、弧度与角度互换公式： 1rad ＝°≈ 57.30 ° =57 ° 18 ˊ． 1 °＝≈ 0.01745 （ rad ）3 、弧长公式：. 扇形面积公式：4 、三角函数： 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P （ x,y ） P 与原点的距离为 r ，则；；；；； ..5 、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6 、三角函数线正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数定义域sin x cos xtan xcot xsec xcsc xroxya 的终边P （x,y)正切、余切余弦、正割正弦、余割8 、同角三角函数的基本关系式：9 、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三公式组四(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx(2)(1)|sinx|>|cosx||cosx|>|sinx||cosx|>|sinx||sinx|>|cosx|sinx>cosxcosx>sinx16. 几个重要结论:OOxyxy公式组五公式组六（二）角与角之间的互换公式组一公式组二公式组三公式组四公式组五, , ,.10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（ A 、＞0 ）定义域R R R值域R R周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；；上为增函数上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）上为减函数（）上为减函数（）注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反 . 一般地，若在上递增（减），则在上递减（增） .与的周期是.或（）的周期.的周期为 2 （，如图，翻折无效） .的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（） .当·；·.与是同一函数 , 而是偶函数，则.函数在上为增函数 . （ × ） [ 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的 ].定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件 . （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如：是奇函数，是非奇非偶 . （定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有. （的定义域，则无此性质）不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：.有.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ ）的振幅 |A| ，周期，频率，相位初相（即当 x ＝ 0 时的相位）．（当 A ＞ 0 ，ω ＞ 0 时以上公式可去绝对值符号），由 y ＝ sin x 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当 | A| ＞ 1 ）或缩短（当 0 ＜ | A| ＜ 1 ）到原来的 | A| 倍，得到 y ＝ Asin x 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换．（用 y/A 替换 y ）由 y ＝ sin x 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（ 0 ＜ | ω | ＜ 1 ）或缩短（ | ω | ＞ 1 ）到原来的倍，得到 y ＝ sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换． ( 用ω x 替换 x)由 y ＝ sin x 的图象上所有的点向左（当φ＞ 0 ）或向右（当φ＜ 0 ）平行移动｜φ｜个单位，得到 y ＝ sin （ x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移． ( 用 x ＋φ替换 x)由 y ＝ sin x 的图象上所有的点向上（当 b ＞ 0 ）或向下（当 b ＜ 0 ）平行移动｜b ｜个单位，得到 y ＝ sin x ＋ b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移．（用 y+(-b) 替换y ）由 y ＝ sin x 的图象利用图象变换作函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞ 0 ，ω＞0 ）（x ∈ R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法1. 三角函数恒等变形的基本策略。

（ 1 ）常值代换：特别是用“ 1 ”的代换，如1=cos 2 θ +sin 2 θ =tanx · cotx=tan45 °等。

（ 2 ）项的分拆与角的配凑。

如分拆项： sin 2 x+2cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α = （α + β）－β，β = －等。

（ 3 ）降次与升次。

（ 4 ）化弦（切）法。

（ 4 ）引入辅助角。

asin θ +bcos θ = sin( θ + ) ，这里辅助角所在象限由 a 、 b 的符号确定，角的值由 tan = 确定。

2. 证明三角等式的思路和方法。

（ 1 ）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（ 2 ）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3. 证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4. 解答三角高考题的策略。

（ 1 ）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（ 2 ）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（ 3 ）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析例 1 ．已知，求（ 1 ）；（ 2 ）的值 .解：（ 1 ）；(2).说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例 2 ．求函数的值域。

解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，，当时，，所以，函数的值域为。

例 3 ．已知函数。

（ 1 ）求的最小正周期、的最大值及此时 x 的集合；（ 2 ）证明：函数的图像关于直线对称。

解：(1) 所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2) 证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

例 4 ．已知函数 y= cos 2 x+ sinx · cosx+1 （x ∈ R ） ,（ 1 ）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（ 2 ）该函数的图像可由y=sinx(x ∈ R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（ 1 ） y= cos 2 x+ sinx · cosx+1= (2cos 2 x － 1)+ +（ 2sinx · cosx ） +1= cos2x+ sin2x+ = (cos2x · sin +sin2x · cos )+= sin(2x+ )+所以 y 取最大值时，只需 2x+ = +2k π , （k ∈ Z ），即 x= +k π , （k ∈ Z ）。

所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为 { x|x= +k π,k ∈ Z}（ 2 ）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（ i ）把函数 y=sinx 的图像向左平移，得到函数 y=sin(x+ ) 的图像；（ ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+ ) 的图像；（ iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y= sin(2x+ ) 的图像；（ iv ）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。

综上得到 y= cos 2 x+ sinxcosx+1 的图像。

说明：本题是 2000 年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成 y= sin ( ω x+ )+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

本题（ 1 ）还可以解法如下：当 cosx=0 时， y=1 ；当cosx ≠ 0 时， y=+1= +1化简得： 2(y － 1)tan 2 x －tanx+2y － 3=0∵ tanx ∈ R ，∴△ =3 － 8(y － 1)(2y －3) ≥ 0, 解之得：≤ y ≤∴ y max = ，此时对应自变量 x 的值集为 { x|x=k π + ,k ∈ Z}例 5 ．已知函数（Ⅰ）将 f(x) 写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 b 2 =ac ，且边 b 所对的角为 x ，试求 x 的范围及此时函数 f(x) 的值域 .解：（Ⅰ）由=0 即即对称中心的横坐标为（Ⅱ）由已知 b 2 = a c即的值域为.综上所述，，值域为.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例 6 ．在中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，且，(1) 求的值；(2) 若，且 a=c ，求的面积。

解： (1) 由正弦定理及，有，即，所以，又因为，，所以，因为，所以，又，所以。

(2) 在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为。

三角函数一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 )1 ．已知点 P （tan α ，cos α ）在第三象限，则角α 的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2 ．集合 M ＝ { x | x ＝± ，k ∈ Z } 与 N ＝ { x | x ＝，k ∈ Z } 之间的关系是（）A. M NB. N MC. M ＝ND. M ∩ N ＝3 ．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（）A.60 °B. － 60 °C.30 °D. － 30 °4 ．已知下列各角（ 1 ） 787°， (2) － 957°， (3) － 289°， (4)1711°，其中在第一象限的角是 ( )A. （ 1 ）（ 2 ）B. （ 2 ）（ 3 ）C. （ 1 ）（ 3 ）D. （ 2 ）（ 4 ）5 ．设 a ＜ 0 ，角α 的终边经过点 P （－ 3 a ， 4 a ），那么sin α ＋2cos α 的值等于（）A. B. － C. D. －6 ．若cos( π ＋α ) ＝－，π ＜α ＜2 π ，则sin(2 π －α ) 等于（）A. －B.C.D. ±7 ．若α是第四象限角，则π－α是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角8 ．已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2 ，则这个圆心角所对的弧长是（）A.2B.C.2sin1D.sin29 ．如果 sin x ＋ cos x ＝，且 0 ＜ x ＜π ，那么 cot x 的值是（）A. －B. －或－C. －D. 或－10 ．若实数 x 满足 log 2 x ＝ 2 ＋ sin θ，则 | x ＋ 1| ＋ | x － 10| 的值等于（）A.2 x － 9B.9 － 2 xC.11D.9二、填空题 ( 本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 )11 ． tan300°＋ cot765°的值是 _____________.12 ．若＝ 2 ，则sin α cos α 的值是 _____________.13 ．不等式（ lg20) 2cos x ＞ 1 ，( x ∈ (0 ，π )) 的解集为 _____________.14 ．若θ满足 cos θ＞－，则角θ的取值集合是 _____________.15 ．若 cos130°＝ a ，则 tan50°＝ _____________. －16 ．已知 f ( x ) ＝，若α ∈ ( ，π ) ，则f (cos α ) ＋ f ( －cos α ) 可化简为 ___________.三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 ．（本小题满分 12 分）设一扇形的周长为 C ( C ＞ 0) ，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18 ． ( 本小题满分 14 分）设 90°＜α＜ 180°，角α的终边上一点为 P （ x ，) ，且 cos α＝x ，求sin α 与tan α 的值 .19 ． ( 本小题满分 14 分 ) 已知≤ θ ≤ π ，sin θ ＝，cos θ ＝，求 m 的值 .20 ． ( 本小题满分 15 分 ) 已知 0°＜α ＜ 45°，且lg(tan α ) －lg(sin α ) ＝ lg(cos α ) －lg(cot α ) ＋ 2lg3－lg2 ，求cos 3 α －sin 3 α 的值 .21 ． ( 本小题满分 15 分 ) 已知sin(5 π －α ) ＝cos( π ＋β ) 和cos( －α ) ＝－cos( π ＋β ) ，且 0 ＜α ＜π ， 0 ＜β ＜π ，求α 和β 的值 .三角函数一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1 ．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A. y ＝ sin2 xB. y ＝ cosC. y ＝ sin2 x ＋ cos2 xD. y ＝2 ．设函数 y ＝ cos(sin x ) ，则（）A. 它的定义域是［－ 1 ， 1 ］B. 它是偶函数C. 它的值域是［－ cos1 ， cos1 ］D. 它不是周期函数3 ．把函数 y ＝ cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位 . 则所得图象表示的函数的解析式为（）A. y ＝ 2sin2 xB. y ＝－ 2sin2 xC. y ＝ 2cos(2 x ＋)D. y ＝ 2cos( ＋)4 ．函数 y ＝ 2sin(3 x －) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）A. B. C. π D.5 ．若sin α ＋cos α ＝ m ，且－≤ m ＜－ 1 ，则α 角所在象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6 ．函数 y ＝ |cot x |·sin x （ 0 ＜x ≤ 且x ≠ π ）的图象是（）7 ．设 y ＝，则下列结论中正确的是（）A. y 有最大值也有最小值B. y 有最大值但无最小值C. y 有最小值但无最大值D. y 既无最大值又无最小值8 ．函数 y ＝ sin （－ 2 x ) 的单调增区间是（）A. ［kπ －，kπ ＋］( k ∈ Z )B. ［kπ ＋，kπ ＋］( k ∈ Z )C. ［kπ －，kπ ＋］( k ∈ Z )D. ［kπ ＋，kπ ＋］( k ∈ Z )9 ．已知0 ≤ x ≤ π ，且－＜ a ＜ 0 ，那么函数 f ( x ) ＝ cos 2 x － 2 a sin x － 1 的最小值是（）A.2 a ＋ 1B.2 a － 1C. － 2 a － 1D.2 a10 ．求使函数 y ＝ sin(2 x ＋θ ) ＋cos(2 x ＋θ ) 为奇函数，且在［ 0 ，］上是增函数的θ的一个值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11 ．函数 y ＝的值域是 _____________.12 ．函数 y ＝的定义域是 _____________.13 ．如果 x ，y ∈ ［ 0 ，π ］，且满足 |sin x | ＝ 2cos y － 2 ，则 x ＝ ___________ ，y ＝ ___________.14 ．已知函数 y ＝ 2cos x ，x ∈ ［ 0 ， 2 π］和 y ＝ 2 ，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是 _____________15 ．函数 y ＝ sin x ＋ cos x ＋ sin2 x 的值域是 _____________.16 ．关于函数 f ( x ) ＝ 4sin(2 x ＋)( x ∈ R ) 有下列命题：① 由 f ( x 1 ) ＝ f ( x 2 ) ＝ 0 可得 x 1 － x 2 必是π 的整数倍；② y ＝ f ( x ) 的表达式可改为 y ＝ 4cos(2 x －) ；③ y ＝ f ( x ) 的图象关于点（－， 0) 对称；④ y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝－对称 .其中正确的命题的序号是 _____________.三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 ．（本小题满分 12 分）如图为函数 y ＝A sin( ωx ＋φ )( A ＞ 0 ，ω ＞ 0) 的图象的一部分，试求该函数的一个解析式 .18 ．（本小题满分 14 分）已知函数 y ＝ (sin x ＋ cos x ) 2 ＋2cos 2 x .( x ∈ R )(1) 当 y 取得最大值时，求自变量 x 的取值集合 .(2) 该函数图象可由 y ＝sin x ( x ∈ R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？19 ．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) ＝(sin x － cos x )（ 1 ）求它的定义域和值域；（ 2 ）求它的单调减区间；（ 3 ）判断它的奇偶性；（ 4 ）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期 .20 ．（本小题满分 15 分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面 . 若水渠横断面面积设计为定值 m ，渠深 3 米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？21 ． ( 本小题满分 15 分）已知函数 f ( x ) ＝ sin( ωx ＋φ )( ω＞ 0 ，0 ≤ φ≤ π )是 R 上的偶函数，其图象关于点 M （， 0) 对称，且在区间［ 0 ，］上是单调函数，求φ和ω的值 .倒数关系：tan α · cot α =1sin α · csc α =1cos α · sec α =1商的关系：sin α /cos α =tan α =sec α /csc αcos α /sin α =cot α =csc α /sec α平方关系：sin^2( α )+cos^2( α )=11+tan^2( α )=sec^2( α )1+cot^2( α )=csc^2( α )平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2( α )+cos^2( α )=1tan α *cot α =1一个特殊公式（sina+sin θ） * （ sina-sin θ） =sin （a+ θ） *sin （ a- θ）证明：（sina+sin θ） * （ sina-sin θ）=2 sin[( θ +a)/2] cos[(a- θ )/2] *2cos[( θ +a)/2] sin[(a- θ )/2]=sin （a+ θ） *sin （ a- θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度 h 与水平高度 l 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母 i 表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如 i=1:5. 如果把坡面与水平面的夹角记作a( 叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin α = ∠α的对边/ ∠α 的斜边余弦：cos α = ∠α的邻边/ ∠α的斜边正切：tan α = ∠α的对边/ ∠α的邻边余切：cot α = ∠α的邻边/ ∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA · cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即 Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)正切tan2A= （ 2tanA ） / （ 1-tan^2(A) ）三倍角公式sin3 α =4sin α· sin( π /3+ α )sin( π /3- α )cos3 α =4cos α· cos( π /3+ α )cos( π /3- α )tan3a = tan a · tan( π /3+a) · tan( π /3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin ² a)+(1-2sin ² a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos ² a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin ² a)=4sina[( √ 3/2) ² -sin ² a]=4sina(sin ² 60 ° -sin ² a)=4sina(sin60 ° +sina)(sin60 ° -sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60 ° -a)/2]*2sin[(60 ° -a)/2]cos[(60 ° -a)/2]=4sinasin(60 ° +a)sin(60 ° -a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos ² a-3/4)=4cosa[cos ² a-( √ 3/2)^2]=4cosa(cos ² a-cos ² 30 ° )=4cosa(cosa+cos30 ° )(cosa-cos30 ° )=4cosa*2cos[(a+30 ° )/2]cos[(a-30 ° )/2]*{-2sin[(a+30 ° )/2]sin[(a-30 ° )/2]} =-4cosasin(a+30 ° )sin(a-30 ° )=-4cosasin[90 ° -(60 ° -a)]sin[-90 ° +(60 ° +a)]=-4cosacos(60 ° -a)[-cos(60 ° +a)]=4cosacos(60 ° -a)cos(60 ° +a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60 ° -a)tan(60 ° +a)现列出公式如下: sin2 α =2sin α cos α tan2 α =2tan α /(1-tan^2( α )) cos2 α =cos^2( α )-sin^2( α )=2cos^2( α )-1=1-2sin^2( α ) 可别轻视这些字符 , 它们在数学学习中会起到重要作用。