第三章动能和势能能量是物理学中最为重要的概念之一，人类认识这个概念经历了长期的曲折的过程。

能量可以从一种形式转变为另一种形式，但总量不变。

做功恰好是使能量发生转变的一种手段。

我们将从功开始这一章的研究，然后讨论动能、势能及它们间的转换和守恒。

第一节功一．力的元功和功率1．力的元功我们在中学里学过功的概念：力在受力质点位移上的投影与位移的乘积。

这是力的方向大小不变且位移沿直线的情况或其它较简单的情况。

现在需要讨论的是力的方向会变且质点沿曲线运动的一般情况。

科学研究的方法之一是利用已知探讨未知。

如将受力质点的路径分成许多小段（图1），每段可视为一方向不变的位移。

在这一小位移上力也可认为是不变的。

那一小位移为无穷小量，可认为与轨迹重合，称为元位移，力在元位移上的功称为元功。

我们定义力的元功ΔA等于F与受力质点无穷小量位移Δr的标积。

图1：先计算元功取和后即得总功ΔA = F·Δr= F│Δr│cosαα表示力与位移的夹角，0≤α< 90 力做正功；α= 90 力不做功；90 <α≤180 则力做负功。

2、功率在Δt时间内力所做的功为ΔA ，则N（上横线）= ΔA / Δt称做力在Δt时间内的平均功率。

当时间Δt趋于零时，力的平均功率的极限叫做力的瞬时功率：N = （极限符号）ΔA / Δt = dA / dt将dA = F·dr代入上式，得N = F · v即力的功率等于力与受力质点速度的标积。

3、单位国际单位制规定 1 牛顿力使受力质点沿力的方向移动1 米所做的功作为功的单位，叫做 1 焦耳，符号为“J”。

功率的单位由功和时间的单位或者由力与速度的单位来决定，国际单位制规定：若力在1秒内所做的功为1焦耳，则功率为1瓦特。

二、力在整个路径上的功因为力在无穷小位移上的功是ΔA = F·Δr ，则力在整个路径上的功为所有元功之和。

A = ∫F·d r在直角坐标系中，可分解为A = ∫（上下限）Fx dx + ∫（上下限）Fy dy（上限为x，y 下限为x0，y0 ）例题：马拉雪橇水平前进，自起点A沿某一长为L的的曲线路径拉至终点B，雪橇与雪地间的正压力为N，摩擦系数为μ，求摩擦力的功。

解：沿雪橇轨迹取自然坐标，雪橇前进方向为自然坐标增加的方向。

根据 A = ∫（上限x ，下限x0）Fx dx摩擦力的功为A = -∫（上限B ，下限A）μNds= -μNs│（上L，下0）= -μN L这个计算虽然简单，但其结果值得注意，设想在A与B间换为一长L’ ≠L 的路径，摩擦力的功亦将改变，故摩擦力的功不仅和受力点始末位置有关。

第二节质点和质点系的动能定理一、质点的动能定理定义：Ek = mv平方/ 2 叫做质点的动能。

因为动能的变化可以用功来量度，所以动能和功具有相同的量纲和单位。

定理：质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。

即A = mv平方/ 2 - mv0平方/ 2动能与功的概念不能混淆，质点的运动状态一旦确定，动能就惟一地确定了。

动能是运动状态的函数，是反映质点运动的物理量。

而功是和质点受力并经历位移这个过程相联系的，“过程”意味着“状态的变化”，所以功不是描写状态的物理量，它是过程的函数，可以说处于一定运动状态的质点有多少动能，但说某质点具有多少功就没有任何意义。

二、质点系的动能原理现在将某质点系视为一研究对象。

设质点系由n个质点组成，在运动过程中，作用于各质点合力的功等于A1，A2，…，Ai，…，An，结果使各质点动能从Ek10，Ek20，…，Eki0，…，Ekn0变成Ek1，Ek2，…，Eki，…，Ekn 。

对每个质点使用动能定理，得Ai = Eki –Eki0 i = 1，2，3，…，n将上式对一切质点取和，并省去脚标i ，有ΣA = ΣEk –ΣEk0把质点系内各质点动能之和叫做质点系的动能，则上式右方中ΣEk0为质点系的初动能，ΣEk 为质点系的末动能。

式中ΣA 为作用于质点系一切力所做功的和，可分为两部分：一为一切外力所做功的和，用ΣA外表示；另一为一切内力所做功的和，用ΣA内表示。

由于作用力与反作用力之功的代数和不一定为零，故ΣA内不容忽视，于是把上式写作：ΣA外+ ΣA内= ΣEk –ΣEk0即质点系动能的增量在数值上等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和，称作质点系的动能定理。

第三节势能一、保守力与非保守力若力所做的功仅由受力质点始末位置决定而与受力质点所经历的路径无关，或者说，此力沿闭合路径所做的功等于零，这种力就叫做保守力。

重力，弹簧弹性力，静电场力以及第六章谈到的万有引力均系保守力。

并非各种力都是保守力。

前节例题中雪橇所受摩擦力做功不仅与受力质点始末位置有关而且与质点路径也有关系。

此外，内燃机中气体对活塞的推力、磁场力等也都具有这种特性。

若力所做的功不仅决定于受力质点始末位置而且和质点经过的路径有关，或者说，力沿闭合路径做的功不等于零，这种力叫非保守力。

其中像滑动摩擦力做负功常损耗动能，这类非保守力又称耗散力。

二、势能势能概念是在保守力概念的基础上提出的。

对于保守力，受力质点始末位置一定，力的功便确定了。

因此，可以找到一个位置函数，并使这个函数在始末位置的增量恰好决定于受力质点自初始位置通过任何路径达到终止位置保守力做的功，这个函数就是势能。

用Ep0 和Ep 分别表示质点在始末位置的势能，用A保表示自始位置到末位置保守力的功，则Ep - Ep0 = - A保表明与一定保守力相对应的势能的增量等于保守力所做功的负值，此即势能的定义。

若保守力做正功，则势能减少，若保守力做负功，则势能增加。

例如，将质点高举，重力与质点运动方向相反，重力做负功，重力势能增加；若质点自高处下落，重力做正功，则重力势能减小。

可以把势能等于零的空间点叫做势能零点，它是人为规定的。

比如规定计算保守力做功的起始位置为势能零点，Ep0 = 0，那末终止位置的势能为Ep = - A保可见，选择不同的势能零点，势能的值是不同的。

第四节功能原理和机械能守恒定律质点系的动能与势能之和称作质点系的机械能，功能原理和机械能守恒定律都是说明质点系机械能的变化规律的。

一、质点系的功能原理质点系动能定理可表示为：ΣA外+ ΣA内= ΣEk –ΣEk0因为内力包括保守力和非保守力，故一切内力所做功之和包括一切内保守力所做的功和一切内非保守力所做的功的和，即ΣA内= ΣE内保+ΣE内非代入前式的得ΣA外+ ΣE内保+ΣE内非= ΣEk –ΣEk0又因为一切内保守力所做功之和的负值等于该质点系势能的增量，即ΔEp = Ep - Ep0 = - ΣA内保式中Ep0 和Ep 分别表示一定过程中质点系的始、末势能。

代入前式并移项，则得ΣA外+ ΣA内非= Σ（Ek + Ep ）-Σ（Ek0 + Ep0）= Δ（ΣEk +ΣEp）式中Ek0 + Ep0 和Ek + Ep 分别表示质点系的始末机械能。

上式表明：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的代数和，称作质点系的功能原理。

二、质点系的机械能守恒定律在一定过程中，若质点系机械能始终保持恒定，且只有该质点系内部发生动能和势能的相互转换，就说该质点系机械能守恒，机械能守恒的系统称为保守系统。

根据机械能守恒的含义和功能原理，可得出机械能守恒定律：在一定过程中若外力不做功，又每一对内非保守力不做功，则质点系机械能守恒，即ΣEk +ΣEp = 恒量在定律中，先是要求外力不做功，因为外力做功将导致质点系与外界进行能量交换，至于“每一对内非保守力不做功”，并非要求每一对内非保守力中每个力都不做功，只要求每一对内非保守力所做的功的代数和为零。

实际上，在机械能守恒的质点系中，仅允许内保守力做功不为零。

正如前文所述，内保守力做功仅意味着动能与势能的相互转化，不影响总机械能。

由于摩擦力等非保守力普遍存在，机械能精确守恒的情况很罕见。

但是在将摩擦力等非保守力的功忽略不计，对计算结果并不发生明显影响时，仍可用机械能守恒方程求近似解。

第五节碰撞碰撞是物理学研究的重要对象，我们只讨论对心碰撞。

碰撞有两个特点：首先，碰撞的短暂时间内相互作用很强，可以不考虑外界影响。

另外，碰撞前后状态变化突然且明显，适合用守恒定律研究运动状态的变化。

一、关于对心碰撞的基本公式将两球视做一质点系，因外力矢量和为零，故动能也守恒。

用m1和m2分别表示两球的质量，碰撞前的速度分别为v10和v20，碰撞后的速度为v1和v2，有m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20若令x轴与各速度矢量平行，得投影方程m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 （1）在气垫导轨上或气桌上做对心碰撞实验，可测出v10、v20 、v1和v2 。

以各种不同初速度实验，实验结果表明，对于材料一定的球，碰撞后分开的相对速度与碰撞前接近的相对速度成正比，碰前接近时的相对速度为v10 - v20，碰后分离时的相对速度为v2 –v1，于是有e = （v2 –v1 ）/（v10 - v20）（2）比例常数e叫做恢复系数，由两球材料的弹性决定，并可通过气垫导轨或气桌上的实验测量。

研究碰撞问题常需已知碰前速度求碰撞后的速度或由碰后速度求碰撞前的速度，总之含有两个未知数，故可将（1）与（2）联立求解。

二、完全弹性碰撞当 e = 1，即碰撞前后两球相对速度大小不发生变化的情况。

这时（2）变为v2 + v20 = v1 + v10则（1）又可写作m2(v2－v20 )=﹣m1(v1 －v10)两式相乘可得1/2 m1v1（平方）+1/2 m2v2（平方）= 1/2 m1v10（平方）+1/2 m2v20（平方）（3）即碰撞前后质点系动能不变。

碰撞过程中，先是一部分动能转变为球的形变势能，以后又全部变为动能，无机械能损失。

碰撞前后质点系总动能不发生变化的碰撞，叫做完全弹性碰撞。

解（1）与（3）得到碰撞后的速度为v1 = [（m1–m2）/（m1+m2）]v10+[2m2/（m1+m2）]v20 （4）v2 = [2m1/（m1+m2）]v10 + [（m2–m1）/（m1+m2）]v20（5）现在就上式讨论几种特殊情况。

①m1 = m2这时可得出v1=v20 ，v2=v10，即二球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的特例是m2最初处于静止的情况。

因v20 =0，所以v1 =0 ，v2=v10 ，即m1去碰撞静止的m2，结果m1会突然停止，而m2接过m1的速度前进。

用两个质量相同的玻璃球去碰撞就可以演示出这种现象。

惠更斯研究碰撞时，就是按这一特征定义完全弹性碰撞的。

显然，这种情况下，m1的动能完全转化为m2的动能。

②m1＜＜m2 且v20 =0这相当于用质量很小的球去碰撞质量很大的静止的球。