海南省海口市龙华区2018-2019学年高一
上学期期末学业质量监测数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
[答案]D
[解析]∵集合，，
∴，故选：D.
2.命题“所有矩形都有外接圆”的否定是（）
A. 所有矩形都没有外接圆
B. 若一个四边形不是矩形，则它没有外接圆
C. 至少存在一个矩形，它有外接圆
D. 至少存在一个矩形，它没有外接圆
[答案]D
[解析]命题的否定为,所有改为至少存在一个,否定结论,即可.
3.下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是（）
A. B. C. D.
[答案]C
[解析]根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sin x，是正弦函数，在定义域上不是增函数；不符合题意；
对于B，y＝tan x，为正切函数，在定义域上不是增函数，不符合题意；
对于C，y＝x3，是奇函数且在其定义域内单调递增，符合题意；
对于D，y＝e x为指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：C．
4.已知函数，则（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
[答案]A
[解析]∵函数f（x），
∴f（﹣1）＝（﹣1）2+3＝4，
f（f（﹣1））＝f（4）＝log44＝1．故选：A．
5.函数（）的图象可能是( )
A. B.
C. D.
[答案]D
[解析]当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，
且当时，，即函数恒过点，故选D.
6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
[答案]D
[解析]，
要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可，故选：D．7.以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
[答案]D
[解析]设Q（x，y），由任意角的三角函数定义，可得x＝cos，y＝sin．
∴点Q的坐标为（，）．故选：D．
8.已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
[答案]B
[解析]根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，此时若f（x）＝x2﹣2x＞0，解可得x＞2；又由函数f（x）为偶函数，则当x＜0时，f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2}，
综合可得：f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞2}，
若f（x﹣1）＞0，必有x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解可得：x＜﹣1或x＞3，
即不等式f（x﹣1）＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；故选：B．
9.已知是第四象限的角，且，则（）
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]∵3sin2α＝8cosα，
∴sin2α+（）2＝1，整理可得：9sin4α+64sin2α﹣64＝0，
∴解得：sin2α，或﹣8（舍去），
∵α是第四象限的角，∴sinα，
∴cos（）＝cos（α+1009π）＝﹣cos（α）＝sinα．故选：A．
10.设，，，则、、的大小关系为（）
A. B.
C. D.
[答案]A
[解析]对于的对数,当，a越小，越靠近y轴，所以；
而，故，故选A.
11.某创业公司2018年投入的科研资金为100万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是（）
A. 2021年
B. 2022年
C. 2023年
D. 2024年
[答案]B
[解析]某创业公司2018年投入的科研资金为100万元，
在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，
则x年后投入的科研资金为：y＝100（1+20%）x＝100×1.2x，
由100×1.2x＞200，解得x≥4．
该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是2018+4＝2022年．故选：B．
12.已知、，定义运算“”：，设函数，. 若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
[答案]A
[解析]若﹣≤1，则，解得x，
若﹣＞1，则＞0，则x，
∴f（x），
作出f（x）的函数图象如图所示：
∵y＝f（x）﹣c有两个零点，∴f（x）＝c有两解，
∴0＜c．故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.计算=__________.
[答案]-20
[解析]因,故答案为.
14.已知角的终边经过点，且，则__________.
[答案]
[解析]角α的终边经过点P（x，﹣12），
∴r＝|OP|，
∴cosα，解得x＝﹣5，
∴tanα．故答案为：．
15.当时，函数的单调递减区间为__________.
[答案]
[解析]对于函数f（x）＝sin（x），令2kπx2kπ,
求得2kπx2kπ,可得函数的减区间为[2kπ，2kπ]，k∈Z．
再结合x∈[0，2π]，可得函数的减区间为[，]，故答案为：[，]．
16.某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是________.
[答案].
[解析]设一共运了y次，结合题意，列出不等式组，得到：，
目标函数为，转化为直线方程得到，绘制可行域，得到:
可行域为阴影部分，目标函数从虚线处平移，
当与相切与A点的时候，z取到最小值，
该切点斜率为，解得x=40.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知集合,.
（1）求；
（2）若集合,求.
解：（1）因为，所以，
由得或，
所以，，
所以.
（2）因为，所以，
由（1）知，
所以.
18.已知函数，其相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
解：（1）依题意，得，所以，解得.
（2）由（1）知，，
因为，所以，
又因为，所以，，
所以
.
19.已知幂函数在上单调递增，又函数.
（1）求实数的值，并说明函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又因为在上单调递增，所以，即，即，则，
因为与均在上单调递增，
所以函数在上单调递增.
（2）因为，所以是奇函数，
所以不等式可变为，
由（1）知在上单调递增，所以，解得.
20.如图，某公园中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要30min，其中心O距离地面83.5m，半径为76.5m，小明从最低处登上摩天轮，那么他与地面的距离将随时间的变化而变化，以他登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
（1）试确定小明在时刻t（min）时距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间小明距离地面的高度超过121.75m？
解：（1）设小波在时刻（）时距离地面的高度为（），
则可设（其中为摩天轮转动的角速度），
因为每转动一圈需要，所以（），
所以（）.
（2）解得，
当时，解得或，，
所以在摩天轮转动的一圈内，有小波距离地面的高度超过.
21.如图，在直角坐标系xOy中，角、以O x为始边，其终边分别交单位圆于点A、B.
（1）已知角以Ox为始边，终边交单位圆于点C，试在图中作出点C（写明作法），并
写出点C的坐标；
（2）根据图示，推导两角差的余弦公式：；（3）由推导两角和的正弦公式：.
解；（1）以为始边顺时针作角，其终边交单位圆于点，则，
所以.
（2）设单位圆与轴正半轴交于点，连结，，
因为，所以，
又因为，，，
所以，
，
故.
（3）因为，
由得，
，得证.
22.已知，其中为奇函数，为偶函数．
（1）求与的解析式；
（2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 解：（1）因为是奇函数，是偶函数，所以，，
因为，①
所以，②
联立①②，解得，
.
（2）由已知得，
化简得，
由（1）知的定义域为，所以方程在上有且仅有一根，当时，方程无根，舍去；当时，解得，
故，所以，解得，
所以实数的取值范围为.。