③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, R R 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ R ≠ 0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R的大小等于原力系的主矢
合力R的作用线位置
合力作用线过简化中心
FR 0 MO 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
d

M O
F
R
合力矩定理
MO FRd
FR FR F
Mo (FR ) MO MO (Fi )
FR 0 MO 0
合力偶 与简化中心的位置无关
若为O1点，如何?
FR 0 MO 0
R2
A
C1 C C2
B
l
R
=
R1
+
R2

1 2
q1

q2 l
AC

q1 2q2
3 q1 q2
l
例4-2
已知： P1 450kN, P2 200kN,
F1 300kN, F2 70kN;
求：力系的合力
FR
合力与OA杆的交点到点O的距离x，
合力作用线方程
解： （1）向O点简化， 求主矢和主矩
方向余弦
cos FR' ,i
Fix FR'
0.3283
cos FR' , j
Fiy FR'
0.9446
主矩 Mo Mo F 3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN m
（2）、求合力及其作用线位置.
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
§4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
r FR 0 MO 0
因为
F R
(
F x
)2

(
F y
)2
M O


M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程

Fx Fy

0 0
MO 0

0
FAy Fc sin 450 F 0
M A 0 Fc cos 450 l F 2l 0
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例4-4 已知：P1 10kN, P2 40kN,尺寸如图；
求： 轴承A、B处的约束力.
25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
B
30o
18kN
R Rx2 Ry2 25.592 32.32 42.01 kN
arccosRx arccos25.59 52.480
a
分布线荷载(线荷载)
A
线荷载集度q
A
N/m ; kN/m
均布线荷载
非均布线荷载
荷载图
B
b q
B
x
qx
(2)均布线荷载
合力大小: R = q xi = q xi= ql
合力作用线通过中心线AB的中点C
b R
R qxi
B
a
q
b
q
a
C
A
C
B
l/2
xi
A
l
(3)按照线性规律变化的线荷载
三矩式 三个取矩点，不得共线
小结 平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式 二矩式

F x

0

F y

0
M A 0


F x

0
M A 0
M B 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式

M M
A B

0 0
M C 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
R
b
合力大小:
qdx
R l qdx l qm xdx
0
0l

1 2
qm
l
A x
C dx
2l / 3
qm B
合力作用点C的位置
l
l
R AC qxdx
0
qm l x2dx l0

1 3
qm
l2
AC 2 l 3
(4) 梯形分布 求图示按线性规律变化的线 荷载的合力 大小和合力作用点C的位置.
解：取AB梁，画受力图.

F x

M M
A B

0 0
各力不得与投影轴垂直 两点连线不得与各力平行
例4-3（例2－1）
已知： AC=CB=l, F=10kN;
求： 铰链A和DC杆受力. （用平面任意力系方法求解）
F y
F x
解： 取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx Fc cos 450 0

F y
=
=
≠
=
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 MO 0


FR Fi Fi
一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶 矩 Mo 称为原力系对于简化中心O的主矩.

MO Mi MO (Fi )
r
r
主矢 FR Fi
主矩 MO
MO (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
FRx ' Fix ' Fix Fx
(1)主矢和主矩
设在刚体上作用一平面任意力系 F1
F1 ,F2 ,…Fn各力作用点分别为 A1 ,
A1
A2 ,… An 如图所示.
在平面上任选一点o为简化中心.
F2 A2
o An Fn
根据力的平移定理,将各力平移到简化中心O.原力 系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1', F2',… Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1, m2,… mn的附加平面力偶系.其中
F1= F1 , F2'= F2 ,…Fn'= Fn M1= Mo(F1), M2= Mo(F2),… Mn= Mo(Fn)
F1' M1 o
F2'
M2
Fn'
Mn
将这两个力系分别进行合成
一般情况下平面汇交力系 F1', F2',… Fn' 可合成为 作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.
b
a
q2
q1
A
B
l
AC

q1 2q2
3 q1 q2
l
R
b
qdx
a
q2
q1
A
dx C
B
l
解:方法1
l
R qdx
0

l 0
q1
q2

q1

x l
dx

1 2
q1
q2 l
R
AC

l 0
qxdx

l 0
q1
q2
q1
x l
xdx
§4-1 平面任意力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平 行移到任一点B，但必须同时附加一个 力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力 F对新作用点B的矩.
MB MB (F ) Fd
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
有： 607.1x 232.9y 2355 0
解： 取起重机，画受力图.

F x

0
FAx FB 0

F y

0
FAy P1 P2 0
MA 0
解得
FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
例4-5
已知： P, q, a, M pa;
求： 支座A、B处的约束力.
平衡 与简化中心的位置无关
简化结果小结
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。