22
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
23
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm；
tg m m tg
20
同理：
再求使物体不致下滑的 Qmin 图(2)
解得：
Qmin
sin f cos cos f sin
G G1tgf
f
tg
G
tg(
m
)
平衡范围应是
Qmin QQmax
21
3.4.5 滚动摩阻
X 0,QF 0 Y 0,P N 0 M A 0,Qr0(不成立)
Q与F形成主动力偶使前滚
例1:均质杆AB，重为P,A端放于粗糙的水平面上，B
端用无重细绳拉住，且使A、B、C三点在同一铅锤平
面内。今测得杆的A端将要向左滑动的趋势，、角
已知，求杆与地面间的摩擦系数。
c
B
A
分析:
1、取分离体，画受力图 y
T
B
2、建立图示坐标系
3、列平衡方程
N
P
X 0, F T sin 0 Y 0, N P T cos 0 A
FRm
f FN
Fmax
tan f
Fmax FN
fs FN FN
fs
由此可得重要结论：
最大全反力 FRm=FN+Fmax
tan f
Fmax FN
摩擦角的正切=静摩擦因数
摩擦锥
以支承面的法线为轴作出的以2f 为顶角的圆锥。
摩擦锥的性质
摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。
物体平衡时有 0≤F≤Fmax
解: 通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。 1.取轮子为研究对象。 2.受力分析如图。
3.列平衡方程。
Fx 0 ,
Fy 0 ,
MA 0 ,
FP Ff 0 FN W 0
M r,max FP R 0
讨论滑动： 临界时 Ff =Fmax= fsFN FP1=Ff = fs FN = fs W = 0.2 × 10 =2 kN
②自锁条件：
当 m时，永远平衡（即自锁）
m
10
● 两个重要结论 ① 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内， 则不论这个力多大，物体总能平衡。
这种现象称为自锁。 FP
f
FR
● 两个重要结论 ② 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外， 则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。
f
FP
FR
2、状态： ①静止： F P (P F 不固定值)
②临界：（将滑未滑）
Fmax f N （f — 静滑动摩擦系数）
③滑动： F ' f ' N （f '—动摩擦系数）
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f3
3、静摩擦力特征
大小： 0 F Fmax
X 0 （平衡范围）满足
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解：①先求使物体不致于上滑的Qmax 图(1)
由 X 0, Qmax cos Gsin Fmax 0
Y 0, N Qmax sin Gcos 0
补充方程: Fmax f N
解得:
Qmax
G1tgftgf
G
tg tg m 1 tg m tg
Gtg( m )
应用三角公式:
tg(
m
)
tg 1 tg
方向： 与物体相对滑动趋势方向相反
定律： 库伦 只与材料和表面情况有关， 与接触面积大小无关。）
4
二、动滑动摩擦力：
大小： F' f 'N （无平衡范围）
动摩擦力特征： 方向： 与物体运动方向相反
定律： F' f 'N （f '只与材料和表面情况有关，与接 触面积大小无关。）
F
x
____
mB
0, P
AB cos
2
N
AB cos
____
F AB sin
0
补充方程 F fN
联立解方程组求得 : f
sin
cos 2tg sin
[例2] 已知： =30º，G =100N，f =0.2 求：①物
体静止时， 水平力Q的平衡范围。②当水平力Q = 60N时，物 体能否平衡？
②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
③ d 的物理意义见图示。
根据力线平移定理，将N和M合成一个力N' ， d'
N'=N
dM N'
M dN'dN
d d
纯滚动条件
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例3 匀质轮子的重量 W =10 kN，半径 R= 0.5 m；已知 轮子与地面的滚阻系数δ= 0.005m，摩擦因数 fs=0.2， 问轮子 是先滚还是先滑？
讨论滚动： 临界时 M r=Mr,max= δ FN
§3-4 考虑摩擦时的平衡问题
3.4.1 工程中的摩擦现象
摩擦
滑动摩擦 滚动摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
静滚动摩擦 动滚动摩擦
平衡必计摩擦
干摩擦
摩擦 湿摩擦
2
3.4.2 滑动摩擦力
一、静滑动摩擦力 1、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面
产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 （ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）
则有
tan
F FN
≤ Fmax FN
tan f
F FN
≤ Fmax FN
0≤ ≤ f
所以物体平衡范围0≤F≤Fmax也可以表示为0≤ ≤ f。
性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角
不大于摩擦角。
四、自锁
①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正
压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开 （无论外力多大），这种现象称为自锁。
③自锁应用举例
摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出
角，tg =f , (该两种材料间静摩擦系数)
tgm
Fmax N
f N N
f
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斜面自锁条件
f
螺纹自锁条件
f
3.4.4 考虑滑动摩擦时的平衡问题 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与 前面基本相同。 几个新特点 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 Fs Fmax ，问题的解有时在一个范围内。
对多数材料，通常情况下
fd fs
3.4.3 摩擦角与自锁现象
全反力
摩擦角
最大全反力FR对法向反力FN的偏角f 。
FR FN
FRm
f FN
F
Fmax
全反力 FR=FN+F
tan F
FN
最大全反力: FRm=FN+Fmax
tan f
Fmax FN
摩擦角
最大全反力FRm对法向反力FN的偏角f 。