将军饮马的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一.六大模型1.如图,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使P A+PB最小。
2.如图,直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使P A+PB最小。
3.如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B。
使△P AB的周长最小4.如图,点P,Q为∠MON内的两点,分别在OM,ON上作点A,B。
使四边形P AQB的周长最小。
5.如图,点A是∠MON外的一点,在射线ON上作点P,使P A与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图,点A 是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P ,使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小二、常见题目Part 1、三角形1.如图,在等边△ABC 中,AB = 6,AD ⊥BC ,E 是AC 上的一点,M 是AD 上的一点,AE =2,求EM +EC 的最小值解: ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ,∴连接BE ,交AD 于点M ,则ME +MD 最小,过点B 作BH ⊥AC 于点H ,则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1,BH =22BC CH -=2263-=33在直角△BHE 中,BE =22BH EH - =22(33)1+=272.如图,在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点, 则BM +MN 的最小值是____.解:作点B 关于AD 的对称点B ',过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ,交AD 于点F ,则线段B 'E 长就是BM +MN的最小值在等腰Rt △AEB '中,根据勾股定理得到,B 'E = 43.如图,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,则这个最小值解:作AB关于AC的对称线段AB',过点B'作B'N⊥AB,垂足为N,交AC于点M,则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值,则∠B'AN = 2∠BAC= 60°,AB' = AB = 2,∠ANB'= 90°,∠B' = 30°。
∴AN = 1,在直角△AB'N中,根据勾股定理B'N =3Part2、正方形1.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为_________。
即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。
解:故作点D关于AC的对称点B,连接BM,交AC于点N。
则DN+MN=BN+MN=BM。
线段BM的长就是DN+MN的最小值。
在直角△BCM中,CM=6,BC=8,则BM=10。
故DN+MN的最小值是102.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()A.23B.26C.3D.6解:即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小。
点D关于直线AC的对称点是点B,连接BE交AC于点P,则BE = PB+PE = PD+PE,BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB =233.在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).解:在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小∵点B关于AC的对称点是D点,∴连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ,故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中,CQ=1,CD=2,根据勾股定理,得,DQ=54.如图,四边形ABCD是正方形,AB= 10cm,E为边BC的中点,P为BD上的一个动点,求PC+PE 的最小值;解:连接AE,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中,求得AE的长为55Part3、矩形1.如图,若四边形ABCD是矩形,AB = 10cm,BC = 20cm,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PD的最小值;解:作点C关于BD的对称点C',过点C',作C'B⊥BC,交BD于点P,则C'E就是PE+PC的最小值直角△BCD中,CH=20 5直角△BCH中,BH=85△BCC'的面积为:BH×CH = 160∴C'E×BC = 2×160则CE' = 16Part4、菱形1.如图,若四边形ABCD是菱形,AB=10cm,∠ABC=45°,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值;解:点C关于BD的对称点是点A,过点A作AE⊥BC,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中,求得AE的长为52Part5、直角梯形1.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上秱动,则当P A+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为()A、21717B、41717C、81717D、3解:作点A关于BC的对称点A',连接A'D,交BC于点P则A'D = P A'+PD = P A+PD A'D的长就是P A+PD的最小值S△APD = 4在直角△ABP中,AB = 4,BP = 1,根据勾股定理,得AP17∴AP上的高为:817 21717=Part6、圆形1.已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是AD的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.解:在直线CD上作一点P,使P A+PB的值最小作点A关于CD的对称点A',连接A'B,交CD于点P,则A'B的长就是P A+PB的最小值连接OA',OB,则∠A'OB=90°,OA' = OB = 4根据勾股定理,A'B=422.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则P A+PB的最小值为( )A. 22B. 2C. 1D. 2解:MN上求一点P,使P A+PB的值最小作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,则点P就是所要作的点A'B的长就是P A+PB的最小值连接OA'、OB,则△OA'B是等腰直角三角形∴A'B=2Part7、一次函数20.一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.解:(1)由题意得:0=2x +b ,4=b解得 k =-2,b =4,∴ y =-2x +4(2)作点C 关于y 轴的对称点C ',连接C 'D ,交y 轴于点P则C 'D =C 'P +PD = PC +PDC 'D 就是PC +PD 的最小值连接CD ,则CD =2,CC ′=2在直角△C 'CD 中,根据勾股定理 C 'D =22求直线C 'D 的解析式,由C '(-1,0),D (1,2)∴有0=-k +b ,2=k +b解得 k =1,b =1,∴ y =x +1当x =0 时,y =1,则P (0,1)Part 8、二次函数1.如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结0A ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120。
,得到线段OB .(1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 周长最小?若存在求出点C 坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)B (13)(2) y 2323x x + (3)∵点O 关于对称轴的对称点是点A ,则连接AB ,交对称轴于点C ,则△BOC 的周长最小y 2323x x ,当x =-1 时,y 3∴C (-132.如图,在直角坐标系中,A ,B ,C 的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过A ,B ,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ,D 为直线l 上的一个动点,(1)求抛物线的解析式;(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;(3)以点A为圆心,以AD为半径作圆A;解:(1)①证明:当AD+CD最小时,直线BD与圆A相切;②写出直线BD与圆A相切时,点D的另一个坐标。
(2)连接BC,交直线l于点D,则DA+DC = DB+DC = BC,BC的长就是AD+DC的最小值BC:y=-x+3则直线BC与直线x=1的交点D(1,2),3.抛物线y = ax2+bx+c(a≠0)对称轴为x = -1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2)(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE//PC交x轴于点E,连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(1)由题意得129302b a a b c c ⎧=⎪⎪-+=⎨⎪=-⎪⎩, 解得23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为224233y x x =+-(2)点B 关于对称轴的对称点是点A ,连接AC 交对称轴于点P ,则△PBC 的周长最小. 设直线AC 的解析式为y = kx +b , ∵A (-3,0),C (0,-2),则032k b b==+⎧⎨-=⎩,解得 k =23- ,b =-2 ∴直线AC 的解析式为 y =23-x –2 把x =-1 代入得y =43-,∴P (-1,43-)(3)S 存在最大值∵DE //PC , ∴OE /OA = OD /OC ,即OE /3 = (2-m )/2OE =3-32m ,AE =OA –OE =32m方法一,连接OPS =S 四边形PDOE –S △OED =S △POE +S △POD –S △OED=12×(3 -32m )×43+12×(2 -m )×1-12×(3-32m )×(2-m ) =34-m 2 +32m=34-(m-1)2+34∴,当m=1时,S最大3 4方法二,S = S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD=34-m2 +32m =34-(m-1)2+34。