2012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数 学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、在锐角ABC ∆中，已知A B C ＞＞,则cos B 的取值范围为（ ）(A) ⎛⎝⎭ (B) 12⎡⎢⎣⎭ (C) ()0,1 (D) ⎫⎪⎪⎝⎭2、红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ） (A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 3、正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（ ） (A)αβθγ＜＜＜ (B) αβγθ＜＜＜ (C) αγβθ＜＜＜ (D) βαγθ＜＜＜4、向量a e ≠，1e =。

若t R ∀∈，a te a e -≥+则（ ）(A) a e ⊥ (B) ()a a e ⊥+ (C) ()e a e ⊥+ (D) ()()a e a e +⊥-5、若复数11w w -+的实部为0，Z 是复平面上对应11w+的点，则点(),Z x y 的轨迹是( ) (A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧6、椭圆长轴长为4，左顶点在圆()22(4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）(A) 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ∆的垂心，二面角H AB C --为30°，且2SA =，则此三棱锥的体积为（ ）(A)12 (B) 2 (C) 4 (D) 348、如图，在锐角ABC ∆中，AC BE ⊥于E ，AB CD ⊥于D,，25BC =，7=CE ，15=BD ，CD 交于H ，连接DE ，以DE 为直径画圆，与AC 交于另一点F ，则AF 的长为（ ）(A) 8 (B) 9 (C)10 (D) 119、已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,n =⋅⋅⋅。

n S 是数列的前n 项和。

则lim n n S →∞=（ ）(A) 0 (B) 3lg (C) 10lg 3 (D)31 10、已知610i x -≤≤(1,2,10),i =⋅⋅⋅10150ii x==∑，当1021i i x =∑取得最大值时，在1210,,x x x ⋅⋅⋅这10个数中等于6-的数共有（ ）(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

每小题14分，共70分 11、在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

已知22sin 1cos 22A BC +=+ ① 求C 的大小② 若22222c b a =-，求cos2cos2A B -的值12、已知两点()()2,0,2,0A B -，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22PA PB PH ⋅=① 求动点P 的轨迹C 的方程② 已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点,M N ，设MN 的中点为R ，过R 与点()0,2Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。

13、系统中每个元件正常工作的概率都是(01)p p ＜＜，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，则系统就能正常工作。

系统正常工作的概率称为系统的可靠性。

（1） 某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系统正常工作概率的表达式（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。

试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。

14、记函数,...3,2,1,!...!3!21)(32=+++++=n n x x x x x f nn 证明：当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根nx ，且n n x x <+215、某乒乓球培训班共有n 位学员（4≥n ），在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。

试确定n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。

2012年华约数学参考答案(详细解答参见另一个PDF 文件)一、选择题1-5 ACBCA 6-10 BDBBC二、解答题11解：（1）C =2/3∏；（2）cos2cos2A B -=3/4 12解：（1）设P(x,y),则H(0，y),由4-,2x y)2,-(x ,222222==∙+=∙x y y x PH BP AP 即）得（（2）令CD:)0(2≠+=m my x 代入422=-x y ，整理得084)1(22=---my y m因为直线在x 轴下方交P 点轨迹于C(11,y x )，D(22,y x )两点所以上式有两个负根，由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〉--=〈〈⇒-=+〉-+=∆≠-018210140)1(321601221221222m y y m m m y y m m m根据韦达定理，得CD 中点M 的坐标为)12,12()2,2(222121mm m y y x x M --=++ 代入直线MQ 的方程y+2=kx,(k 为其斜率)得2212212m k m m -=+-所以，k=)1,12(45)21(122-∈+--=++-m m m ,(1)2〈〈m . 13解答：显然n k n K n n k K p p CP ---=--=∑12112)1(,注意到21211212122-----+++=n k n k n k n k C C C C ，所以1+K P =n k nkn n k p p C-+=+∑-12012)1(=nk kn n n k n k n k pp C C C-+=-----∑-++12021211212)1)(2(=nk kn n n k kn nk n n k kn nk n nk p p C pp Cpp C -+=--=-+--=-+-∑∑∑-+-+-12021221211211212)1()1(2)1(=nk kn n n k kn nk n n k kn nk n nk p p C pp Cpp C--=+--=-+--=-+-∑∑∑-+-+-120221202111201212)1()1(2)1(=))1()1(2()1(2121212p p p p p p Ck n n k n nk -+-+-∑-=---k k k k k k k k p p C p p C 1112112)1()1(+--+----+=))1(()1()1(12101212p p p p C p p Ckk k k k n n k n nk ---+---=---∑=)12()1(12--+-p p p C P kK k k K因此，当p ≥21时，{k p }递增，当P ≥21时，{k p }递减。

14证明：用数学归纳法证明0)(12=-x f n 有唯一解12-n x 且严格单调递增，0)(2=x f n 无实数解，显然n=1时，此时x x f +=1)(1有唯一解11-=x ，且严格单调递增，而21)(22x x x f ++=无实数解，现在假设0)(12=-x f n 有唯一解12-n x 且严格单调递增，0)(2=x f n 无实数解，于是注意到1),()(2212=='+n n n f x f x f 时，对任意的0≤k ≤n 有x+2k+1≤0,于是)12()!12()!2(()(20212++++=∑=+k x k x k x x f knk k n ，所以,0)12(12〈--+n f n又因为,01)0(12〉=+n f 所以由)(12x f n +严格递增知0)(12=+x f n 有唯一根01212--〉〉+n x n ， 对于)(22x f n +有)()(122222x f x f f n n n +++='=，所以（—∞，12+n x ）上，递减，在（12-n x ，+∞）上，递增，所以,0)!22()!22()()(min 22122212122222〉+=++=+++++++∈n x n x x f x f n n n n n n n R x 因此，0)(22=+x f n 无实数解综上所述，对任意正整数n,当ｎ为偶数时0)(=x f n 无解，当ｎ为奇数0)(=x f n 有唯一解n x 。

再证1212-+〈n n x x ，事实上，由)(12x f n -的严格单调性，只需验证0)(1212〈+-n n x f ，注意到)(12x f n +－)(12x f n -＝)!12()!2(122+++n x n x n n ，由上述归纳法证明过程中，1212--〉+n x n ，所以 f 0)12()!12()!12()!2()(1221212122121212〈+++-=+--=++++++-n x n x n x n x x f n n n n n n n n n ， 因此1212-+〈n n x x ，综上所述，原命题得证。

15假设比赛了K 场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以2n C =2k ，也就是说4k=n(n-1)，那么得到n=4l 或者4l+1,期中l ∈N ，下边证明，对于任意的n=4l ，或者4l+1,其中l ∈N,都可以构造出满足要求的比赛：n=4l+1,的时候，对于L 使用数学归纳法：（1）当L=1的时候，N=5，此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.（2）设当L=M 时结论成立，则L=M+1时，设4M+5选手为A,B,C,D,E 221222122111,,,,,m m F F F F F F ，由归纳假设，可以安排E,221222122111,,,,,,mm F F F F F F 之间的比赛，使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛，还剩下A,B,C,D ，E,相互的比赛和A,B,C,D 与22122111,,,,mm F F F F 之间的比赛，A,B,C ，D 与22122111,,,,mm F F F F 之间的比赛安排如下：A 1L F 与B 2L F ,A 2L F 与B 1L F ,C 1L F 与D 2L F ,C 2L F 与D 1L F ,满足要求。