1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有 1200 种不同的摆放方法。

答案：1200!525=⨯C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12•a 2•a 33的系数是 -81000 。

答案：810003)2(5!3!1!2!632-=⋅-⋅⋅⋅⋅3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，共有121+⋅-n n 种方案。

4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有 12 种方案。

答案：12121213=⋅⋅C C C5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。

6) 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。

现要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800 种不同的节目单。

答案：604800!4!637=⨯⨯C 7) 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有2)!(2n ⋅ 种排列方法；若围成一圆桌坐下，又有)2/()!(22n n ⋅ 种方法。

8) n 个变量的布尔函数共有nn2 个互不相同的。

9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为),1(r r n P -+ 。

答案：),1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+⋅⋅⋅++2. (本题10分)核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。

若在时刻t=0时，反应堆中只有一个α粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？ 解: 设t 秒钟的α粒子数位a t ，β粒子数为b t , 则⎪⎩⎪⎨⎧==+==---0,12300111b a b a b b a t t t t t⇔)(3,03210211*⎪⎩⎪⎨⎧==+==---b b b b b b a t t t t t（*）式的特征方程为0322=--x x ，解得3,121=-=r r ，即tt t A A b 3)1(21⋅+-⋅=代入初始值3,010==b b ，解得43,4321=-=A A tt t b 343)1(43⋅+-⋅-=∴ 111343)1(43---⋅+-⋅-==t t t t b a)13(43),13(4310010099100-=+=∴b a3. (本题共10分，共2小题，每小题5分)①设1212n a a a n n P P P =⋅⋅⋅，12,,n P P P ⋅⋅⋅是互不相同的素数，设求能除尽n 的正整数数目为多少？解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个。

②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。

证明：根据题①中结论，na naa P P P n ⋅⋅⋅=2121，能被)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，而na na aP P P n 22221221⋅⋅⋅=能被)12()12)(12(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，2a i +1为奇数)10(≤≤i ，所以乘积为奇数，证毕。

4. (本题10分) 证明等式22222012n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求(1+x 4+x 8)100中x 20项的系数。

次方系数即可证。

比较证明：n ,11,010221202)1()1()1(222∴⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴+⋅+=+n n n n n n x n n x n n x n n x n n x x x n nn n n ΘΘ[]。

三个系数相加即为所求时，系数时，系数时，系数项时有，的结构可知仅当分析）（解：,5,4,35,43k )(1)()(1105510034410023310020841000100841001008410084C C k C C k C C k x x x x x C x xx x k k kk k ⋅==⋅==⋅===+⋅+=++=++∑=-Θ5. (本题10分)求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n 位数，其中要求3和7出现次数为偶数。

位数。

）个不同的（所以可以组成解：n r x e e e e e e e e e x x x x x G n n rr r r x x x x xx x x x 532141!)5321(41)2(4142)2()!4!21()!2!11()(e 0532232324232+⋅++⋅+=++=++⋅=+⋅=⋅+⋅⋅+++⋅⋅+⋅⋅+++=∑∞=--6. (本题10分)6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带一顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？7. (本题10分)求满足下列条件的整数解数目x1+x2++x3+x4=20，其中1≤x1≤5，0≤x2≤7，4≤x3≤8，2≤x4≤6。

.36788 . 0 1! n 368. 0 720 / 265 720 / ) 1 6 30 120 360 720 720 ( 720 / ) 1 6 2 15 6 20 24 15 120 6 720 ( 720/ ) 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 720 ( ! 6 1! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 6 56 4 6 3 6 2 6 1 6 6 ≈ ≈ ≈ = + - + - + - = + - ⨯ + ⨯ - ⨯ + ⨯ - = + - + - + - = + - + - + - = =en D C C C C C D P n 比较大时， 可以证明，当 解：.84396961-4660,0,0,0-4-4-7-4.5603161316131-413,40,40,70,40,13,2,4,,143214321,44,33,22,114321432144332211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++≥≥≥≥=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤≤≤≤≤≤≤=+++-=-==-=整数解数目为于是问题转为变换对于有上届的问题要作根据公式应为若不附加有上届条件的解：设εεεεεεεεεεεεy y y y y y y y y y y y x y x y x y x y8. (本题10分)长为5米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方案？(刚体运动使之吻合算一种方案).202/)22(211,1132415),5)(4)(3)(2)(1(35215211=+=∴==l P OO P P ，个个置换格式：），）（）（（翻转绕第二类置换：解：第一类置换：试问若要求其中有3米为红色，2米为蓝色的方案数是多少？.64323,5214,5313,4512.1025同方案数为为同一种方案，此时不为蓝色分别和和和和但木棒可翻转，使得为个对象染蓝色，方案数个对象任取解：若木棒不可动，则P9. (本题共10分，共2小题，每小题5分)①给出120110n m m m m m m n m n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的组合意义。

等于右边。

所有的方案数相加应该个，个，另一个盒子放放项的意义是一个盒子中左边：第方案数。

两种方法，得到可能的个球中每个球都有个放入两个盒子，个球，从中取出解：右边：i -n i i n n m②证明222223(1)2123n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

222212222211211121322)1(33221,133221)1()1()1(33221)1(233221,133221)1(3210)1(---------+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n n n n n nnn n n n n n n n x xn n n x n x n n x x n n x n x xn n n x n x n n x n n n n n n n n x xn n n x n x n n x n x xn n x n x n x n n x 即得式：也令后并求导得：两端同乘以再给式子：即得式：令求导可得：的两端对在二项式证明：。