2015 年高考立体几何大题试卷
1. 【 2015 高考新课标 2，理 19】
如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 ， BC =10， AA 1 8，点E ，F 分别在 A 1B 1，
C 1
D 1上， A 1
E D 1
F 4．过点 E ，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方
形．
（ 1 题图）
Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值．
2. 【 2015江苏高考， 16】 如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AC BC ，
BC CC 1，设 AB 1的中点为 D ， B 1C BC 1 E .求证：（1） DE //平面AA 1C 1C ；
2) BC 1 AB 1 .
3 题图）
3. 【2015 高考安徽，理 19】如图所示，在多面体 A 1B 1D 1DCBA ，四边形
2 题图）
A B
C
AA1B1B ，
ADD1 A1 , ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D, E的平面交CD1于 F.
4. 【2015 江苏高考， 22】如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD ，且
四边形 ABCD 为直角梯 形， ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；
2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长
面 BEC ，BE ^ EC ，AB=BE=EC=2 ，G ，F 分别是线
段
（ Ⅰ ） 求证： GF // 平面 ADE ；
（ Ⅱ）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值．
6.【2015 高考浙江，理 17】如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中， BAC 90 ， AB
AC 2，A 1A 4 ， A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为B 1C 1的中点.
（1）证明： A 1D 平面 A 1B C ；
（2）求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 .
Ⅰ）证明： EF //B 1C ； Ⅱ）求二面角 E A 1D B 1余弦值 .
4 题图）
5 题图）
5 .【 2015 高考福建， 理 17】如图， 在几何体 ABCDE 中， 四边形 ABCD 是矩形， AB ^ 平
BE ， DC 的中点 .
B C
D
B
7. 【 2015高考山东，理 17】如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE,G,H 分别为
AC,BC 的中点. （Ⅰ）求证： BD//平面 FGH ；
（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE ， BAC 45 , 求平面 FGH 与 平面
ACFD 所成的角（锐角）的大小 .
8 . 【2015 高考天津，理 17】 如图，在四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，侧棱
A 1 A 底面 ABCD , A
B A
C , AB=1,
AC = AA 1 = 2, AD = CD = 5,且点 M 和N 分别为 B 1C 和D 1D 的中点.
（I
）
MN //平面
（II ） 求二面角 D 1 - AC - B 1 的正弦值；
1
（III ） 设 E 为棱 A 1B 1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段
3
A 1E 的长
6 题图）
7 题图）
B
9 题图）
9.【 2015 高考重庆，理 19】如题（ 19）图，三棱锥P ABC 中，PC 平面
ABC, PC 3, ACB .D,E 分别为线段AB, BC上的点，且
2
CD DE 2,CE 2EB 2.
1）证明：DE 平面PCD （2）求二面角A PD C 的余弦值
10. 【2015 高考四川，理 18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M ，GH 的中点为N
（1）请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线MN / / 平面BDH
（3）求二面角A EG M 的余弦值 .
（10 题图）
11. 【2015 高考湖北，理 19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD 中，侧棱 PD 底面ABCD ，且PD CD ，过棱PC 的中点 E ，作 EF PB 交 PB于点 F ，连接DE, DF, BD,BE.
Ⅰ）证明：PB 平面 DEF ．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
Ⅱ）若面 DEF与面ABCD所成二面角的大小为3π，求B D C C的值．
11 题图）
12. 【 2015高考陕西，理 18】如图1，在直角梯形CD中，D// C， D ，
2
C 1，
D 2，是D 的中点，是C与的交点．将沿折起到 1 的位置，如图2 ．
I）证明：CD 平面 1 C ；
II ）若平面 1 平面CD ，求平面 1 C 与平面1CD 夹角的余弦值．
13.【2015高考新课标 1，理 18】如图，，四边形ABCD为菱形，
∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2 DF，AE⊥EC.
Ⅰ ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
Ⅱ ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值
A
C
E
B
14 题图）
14.【2015高考北京，理 17】如图，在四棱锥 A EFCB中，△AEF 为等边三角形，平面AEF 平面 EFCB ，EF ∥ BC ，BC 4，EF 2a， EBC FCB 60 ，O为EF 的中点．
(Ⅰ) 求证： AO BE ；（Ⅱ）求二面角 F AE B 的余弦值；
（Ⅲ）若BE 平面 AOC，求a的值．
15.【 2015 高考广东，理 18】如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直， PD = PC = 4 ，AB = 6 ，BC =3 .点E是CD边的中点，点F 、G分别在线段AB、BC上，且AF =2FB，CG=2GB．
1）证明： PE FG ；2）求二面角 P - AD - C 的正切值；
3）求直线PA与直线FG 所成角的余弦值．
15 题图）
（ 16 题图）
16。

2015 高考湖南，理 19】如图，已知四棱台ABCD A1B1C1D1 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，AA1 6，且AA1 底面ABCD ，点P，Q 分别在棱DD1，
BC上. （1）若P是DD1的中点，证明：AB1 PQ；（2）若PQ//平面ABB1
A1 ，3
二面角P QD A 的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积
7
17.【2015 高考上海，理 19 】如图，在长方体CD 1 1C1D1中， 1 1 ，
D 2，、F分别是、C的中点．证明1、C1、F、四点共面，并
求直线CD1 与平面1C1F 所成的角的正弦值 .
17 题图）。