2z(t) u(t) z(t)
c 2k
m k
3、 已知线性 MDOF 系统的运动方程为 mu + cu + ku = p(t) ，试导出线性
加速度法的积分递推公式。（14 分）
4、 试列出图示等截面均质梁的运动偏微分方程和边界条件以及振型满足 的正交性条件。（14 分）
v(x,t)
m
p(t)
ρA EI
+
4 7
⎧2⎫
⎪ ⎨
2
⎪ ⎬
⎪⎩− 3⎪⎭
+
5 154
⎪⎨⎧−43⎪⎬⎫⎟⎟⎞Z ⎪⎩ 1 ⎪⎭⎟⎠
cos
Ωt
=
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨−−31762
⎪ ⎪⎪⎬Z ⎪ ⎪ ⎪⎭
cos
Ωt
=
⎧ 3.33 ⎫ ⎪⎨− 0.833⎪⎬mm ⎪⎩ − 17.5 ⎪⎭
cos
Ωt
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结构动力学试题
0
3
3
∫ K = L EAψ ′2 (x)dx + kψ 2 (0) + kψ 2 (L) = 4EA + 2k = 6k
0
L
p(t) = P(t)ψ (0) = P(t)
2、 图示 SDOF 系统受到基础运动 z(t)=ZcosΩt 的作用，试求 （1） 列出系统的相对运动 w=u－2z 满足的方程； （2） 确定固有频率和阻尼比； （3） 用复频响应法求相对运动产生的稳态响应。（14 分）
，解出 Δui
=
2( Δui Δti
− ui )
④ Δui
=
(ui
+
1 2
ui Δti
+
1 6
ΔuiΔti )Δti
=
(ui
+
1 6
ui Δti
+
1 3
Δui )Δti
解出 Δui
= 3( Δui Δti
− ui ) −
1 2
ui
Δti
2
第 4 页，共 11 页
代入②得 ki*Δui = Δpi* ，解出 Δui = ki*−1Δpi*
⎧16399 ⎫
⎧16399 / 77097⎫
⎧0.2127⎫
Du 2
=
4k1
m3 ×1957
⎪⎨45785⎪⎬ ⎪⎩77097⎪⎭
=
77097m3 4k1 ×1957
⎪⎨45785 / 77097⎪⎬
⎪⎩
1
⎪⎭
=
9.85 ×10−3 ⎪⎨0.5939⎪⎬ ⎪⎩ 1 ⎪⎭
5
第 7 页，共 11 页
∵ 9.85 ×10−3
( x)dx
+
mϕr
(0)ϕs
(0)
=
0
，当
r
≠
s
∫L
0
EIϕr′′(
x)ϕ s′′( x)dx
+
kϕr
(L)ϕs
(L)
=
0
，当
r
≠
s
5、 试求图示三个自由度弹簧——质量系统的固有频率和主振型。（15 分）
3
第 5 页，共 11 页
u1
u2
u3
1
1
3
3
1
2
6
2
1
解：运动方程 mu + ku = 0
⎡2
⎤
⎡ 6 − 3 − 2⎤
其中
m
=
⎢ ⎢
6
⎥ ⎥
，
k
=
⎢⎢−
3
6
− 3⎥⎥
⎢⎣
2⎥⎦
⎢⎣− 2 − 3 6 ⎥⎦
⎡6 − 2ω 2
(k
−
mω
2 )ϕ
=
⎢ ⎢
−3
⎢⎣ − 2
−3 6 − 6ω 2
−3
−2 −3
⎤ ⎥ ⎥
⎪⎨⎧ϕϕ12
⎫ ⎪ ⎬
=
0
6 − 2ω 2 ⎥⎦⎪⎩ϕ3 ⎪⎭
6 − 2ω 2 k − mω 2 = − 3
工程硕士班结构动力学试题 A 卷
班级
姓名
1、 已知ρAL=m，EA=kL，试验证函数ψ(x)=1－(2x/L)能够作为图示等截 面均质杆的假定振型，并利用它把杆简化为单自由度系统。（14 分）
u(x,t)
k P(t) x
mk ρ EA L
2、 图示 SDOF 系统受到基础运动 z(t)=ZcosΩt 的作用，试求 （1） 列出系统的相对运动 w=u－2z 满足的方程； （2） 确定固有频率和阻尼比； （3） 用复频响应法求相对运动产生的稳态响应。（14 分）
班级：土木系 2003 级硕士研究生
姓名
1、 已知ρAL=m，EI=kL3，试验证函数ψ1(x)=1 和ψ2(x)=(x/L)2 能够作为 图示等截面均质梁的假定振型，并利用它把梁简化为两个自由度系统， 然后说明这两个函数哪个更接近于第一阶主振型。（15 分）
v(x,t)
ρA EI
m
k
M(t)
x
L/2 L/2
作用下相对于基础的运动 w=u-z 产生的稳态响应。（15 分）
m3
u3
m2
u2
m1
u1
z(t)
解：
mw +
kw
=
p(t)
=
−⎪⎨⎧mm12
⎫ ⎪ ⎬
z
=
⎧1.5⎫ ⎪⎨1.5⎪⎬m3Ω 2 Z
cos Ωt
⎪⎩m3 ⎪⎭ ⎪⎩ 1 ⎪⎭
⎡m1
m
=
⎢ ⎢
m2
⎤ ⎡1,5
⎤
⎥ ⎥
=
m3
⎢ ⎢
1.5
⎥ ⎥
p(t)
ρA EI
x
k
L
解：运动偏微分方程： (EIv′′)′′ + ρAv = − p(t)
边界条件：左端 (EIv′′′ + mv) x=0 = 0 ， v′ x=0 = 0
右端 (EIv′′′ − kv) x=L = 0 ， v′′ x=L = 0
振型满足的正交性条件：
∫L
0
ρAϕr
( x)ϕ s
6
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⎧1.5⎫
ϕ
T i
⎪⎨1.5⎪⎬m3Ω 2 Z
cos
Ωt
稳太响应 qi
=
ϕiT p(t) M i (ωi2 − Ω2 )
=
⎪⎩ 1 ⎪⎭ M i (ωi2 − Ω2 )
⎧1.5⎫
(1 2 3)⎪⎨1.5⎪⎬m3Ω2Z cos Ωt
q1 =
⎪⎩ 1 ⎪⎭ M1 (ω12 − Ω2 )
=
7.5Z cos Ωt 16.5(0.52 − 1)
=
−
Z cos Ωt 1.65
=
−3mm cos Ωt
⎧1.5⎫
(2 2 − 3)⎪⎨1.5⎪⎬m3Ω2Z cosΩt
q2 =
⎪⎩ 1 ⎪⎭ M2 (ω22 − Ω2 )
=
3Z cosΩt 21(5× 0.52 −1)
=
4Z
cosΩt 7
=
0.286mmcosΩt
1 k2 +
1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=
1 k1
⎢⎢1 ⎢⎣1
3 3
3⎥⎥ 7⎥⎦
k1 k2 k3 ⎥⎦
⎡6 5 4 ⎤
⎧1⎫
D
=
fm =
m3 4k1
⎢⎢6 ⎢⎣6
15 15
12⎥⎥ 28⎥⎦
，取 u0
=
⎪⎨1⎪⎬ ⎪⎩1⎪⎭
⎧15⎫
⎧15 / 49⎫
Du 0
=
m3 4k1
⎪⎨33⎪⎬ ⎪⎩49⎪⎭
=
49m3 4k1
2z(t) u(t) z(t) c 2k m k
解：⑴ mw + cw + 3kw = −2mz − 6kz
1
第 3 页，共 11 页
⑵ω = 3k ，ξ = c = c
m
2mω 2 3km
⑶ mw + cw + 3kw = −2mz − 6kz
其中 z = ZeiΩt ，设 w = WeiΩt = Wei(Ωt−α ) ，则
(4
q3 =
⎧1.5⎫
− 3 1)⎪⎨1.5⎪⎬m3Ω2Z cos Ωt
⎪⎩ 1 ⎪⎭ M 3 (ω32 − Ω2 )
=
2.5Z cos Ωt 38.5(12 × 0.52 − 1)
=
5Z cos Ωt 77 × 2
=
0.162mm cos Ωt
⎧2⎫
w
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎝
−
1 1.65
⎧1⎫ ⎪⎨2⎪⎬ ⎪⎩3⎪⎭
⎢⎣
m3 ⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦
w = ϕ1q1 + ϕ2q2 + ϕ3q3
qi + ωi2qi = ϕiT p(t) / M i ， i = 1,2,3
其中 M1
= ϕ1T mϕ1
= ϕ121m1
+
ϕ
m 2
21 2
+ ϕ321m3
= 16.5m3
= 1650t
同理 M 2 = ϕ2T mϕ2 = 21m3 = 2100t ， M 3 = ϕ3T mϕ3 = 38.5m3 = 3850t
⎪⎨33 / 49⎪⎬ ⎪⎩ 1 ⎪⎭
⎧ 451 ⎫
⎧ 451/1957 ⎫
⎧ 451/1957 ⎫
Du1
=
m3 4k1 ×