三角恒等变换【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=()tan tan tan()()1tan tan T αβαβαβαβ±±±=-要点诠释：1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2±≠+∈、、παβαβπ2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。

公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简。

考点二、二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：sin 22sin cos ααα= 2()S α；ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan ααα=-2()T α。

要点诠释：1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(224Z k k k ∈+≠+≠ππαππα和时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。

3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。

考点三、二倍角公式的推论降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=.万能公式：ααα2tan 1tan 22sin +=； ααα22tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12sinαα-±=； 2cos 12cosαα+±=； αααcos 1cos 12tan+-±=.其中根号的符号由2α所在的象限决定. 要点诠释：(1)半角公式中正负号的选取由2α所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如23α可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。

(3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)正切还有另外两个半角公式：Z k k k ∈≠-=+≠+=),(sin cos 12tan ),2(cos 1sin 2tanπααααππαααα，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。

常常用于把正切化为正余弦的表达式。

考点四、三角形内角定理的变形由A B C π++=，知()A B C π=-+可得出：sin sin()A B C =+，cos cos()A B C =-+.而()222A B C π+=-，有：()sin cos 22A B C +=，()cos sin 22A B C +=. 【典型例题】 类型一：正用公式 例1.已知:41cos ,32sin -=β=α，求cos()αβ-的值. 【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得cos sin αβ====. 当α在第一象限而β在第二象限时，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+12)43=-+125152-=. 当α在第一象限而β在第三象限时，12cos())(43αβ-=-+⋅=当α在第二象限而β在第二象限时，12cos()()43αβ-=-+=当α在第二象限而β在第三象限时，12cos()()(43αβ-=-+⋅=. 【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.举一反三：【变式1】已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则tan 2x = . 【答案】247-. 【变式2】已知tan()24x π+=，则tan tan 2xx= .【答案】19【变式3】已知tan α和tan β是方程2260x x +-=的两个根，求tan()αβ+的值. 【答案】18-【解析】由韦达定理，得1tan tan 2αβ+=-， tan tan 3αβ⋅=-，∴ tan tan 1tan()1tan tan 8αβαβαβ++==--⋅.【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒ (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下2213sin 15cos 15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= Ⅱ.证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++-22333sin cos 444αα=+= 例2．已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=,3sin()5αβ+=-，求sin 2α的值.【思路点拨】注意到2()()ααβαβ=++-，将()αβ+，()αβ-看做一个整体来运用公式. 【解析】324πβαπ<<<,30,42ππαβπαβ∴<-<<+<，5sin()13αβ∴-===，4cos()5αβ+==-，sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()31245()5135135665ααβαβαβαβαβαβ∴=++-=+-++-=-⨯+-⨯=-【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了2()()ααβαβ=++-的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),βαβα=+-,1[()()]2ααβαβ=++-,2()()βαβαβ=+--,()424πππαα+=--等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 举一反三：【变式1】已知3sin 5α=，α是第二象限角，且tan()1αβ+=，求tan 2β的值. 【答案】724-【解析】由3sin 5α=且α是第二象限角，得3tan 4α=-， ∵()αβαβ+-=， ∴tan()tan tan tan[()]71tan()tan αβαβαβααβα+-=+-==++.22tan 7tan 21tan 24βββ∴==-- 【变式2】函数)2cos(10)y x x =+-+的最大值为（ ）A．．4 C ． 2 D ．2+【答案】C ；【解析】∵7060(10)x x +=++，60cos(10)cos60sin(10)]2cos(10)cos(10)3sin(10)2sin(40)x x x x x x ∴=+++-+=+++=+原式.所以其最大值为2，故选C.【变式3】已知4cos()cos 2.125212πππθ-=-<θ<πθ，且，求（＋）的值【解析】角的关系式：4)12(2122ππθπθ+-=+（和差与倍半的综合关系）∵4cos()1252ππθ-=-<θ<π，且，∴53)12sin(=-πθ∴2524)12cos()12sin(2)12(2sin -=--=-πθπθπθ2571)12(cos 2)12(2cos 2=--=-πθπθ∴]4)12(2cos[.122cos ππθπθ+-=）＋（＝)]12(2sin )12(2[cos 22πθπθ---724()2252550=+=【变式4】已知παπ434<<，40πβ<<，53)4cos(=-απ，135)43sin(=+βπ，求sin()αβ+的值。

【答案】5665【解析】∵ 042<-<-αππ， ∴54)4sin(-=-απ，∵ πβππ<+<4343， ∴1312)43cos(-=+βπ。

∴)](2cos[)sin(βαπβα++-=+6556)54(135531312)]4sin()43sin()4cos()43[cos()]4()43cos[(=-⨯-⨯=-++-+-=--+-=απβπαπβπαπβπ类型二：逆用公式 例3.求值：（1）sin 43cos13cos 43sin13︒︒-︒︒； （2x x ；（3）1tan151tan15+-；（4）44(sin 23cos8sin67cos98)(sin 730cos 730)''+-.【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式. 【解析】（1）原式=1sin(4313)sin 302︒-︒=︒=； （2）原式12(cos )30cos cos30sin )22sin(30)22x x x x x =-=-=-；（3）原式tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan 45tan15+==+==-⋅；（4）原式2222(sin 23cos8cos23sin8)(sin 730cos 730)(sin 730cos 730)''''=-+-22sin(238)(cos 730sin 730)''=---11sin15cos15sin 3024=-=-=-.【点评】①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。