概率统计（多概率）期末试卷考核知识点（注：考试中不得使用计算器） 一、填空题（每空2分，共10分）1. 利用互不相容和概率性质计算概率（书第5，9，,10页）2. 已知离散随机变量分布列，计算概率和数学期望（2个空） 【4：一1；8：一1】例：若随机变量X 的概率分布为1.03.03.02.01.043210pX，则=≤)2(X P ；=>)3(X P ；()4≠X P . =)(X E ；=)(2X E ； =+)53(2X E .3. 已知两个连续型随机变量独立，求协方差和概率（2个空） 【4：一1；8：一1】1. 设相互独立的随机变量X Y 与都服从(0,2)上的均匀分布，则它们的联合概率密度函数=),(y x f ；(1)P X Y ≤=－ .cov(,)0X Y =2. 设随机变量,X Y 相互独立，概率密度分别为22,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩， 33,()0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩， 则概率(2,1)P X Y <>= . cov(,)0X Y =二、选择题（每题3分，共15分） 1. 二项分布概率计算（书35页）1. 设每次试验成功的概率都为)10(<<p p ，现在独立地进行10次这样的试验，记X 为试验成功的次数，则==)4(X P （ ）.=≥)8(X P(A) 64)1(p p - (B) 46)1(p p -(C) 64410)1(p p C - (D) 46410)1(p p C -2. 正态分布的线性性质（书104-106页，定理1,2,3） 【11：三1】1. 已知随机变量(3,1)XN -，(2,1)Y N ，且X 与Y 相互独立，设随机变量27Z X Y =-+，试求()E Z 和()D Z ，并求出Z 的概率密度函数.3. 常见分布的数字特征（书120页)【8：一3；二1】1. 设(4)Xp ,则=)(X D ,2() E X = .2. 已知随机变量X 服从二项分布B(n,p)，且4.2)(=X E ，68.1)(=X D ，二项分布的参数=n ，=p .3. 已知随机变量~(2)X P ，设23-=X Y ，则=)(Y E （ ）.① 2； ② 4； ③41； ④ 214.若随机变量X 服从泊松分布)(λP ，已知=)(X E 1,则λ= ,(2)D X = .4. 已知两随机变量的相关系数，计算和（或差）的方差 【9：一2；三3】1. 若随机变量X 与Y 满足()()1D X D Y ==，相关系数21),(-=Y X R ，则=-)(Y X D ；=+)23(Y X D .2.若~N(0,1),Y ~N(0,1)X ，相关系数41),(-=Y X R ，=+)2(Y X D .3.已知随机变量X 与Y 都服从二项分布(20,0.1)B ，并且X 与Y 的相关系数(,)0.5R X Y =，求()D X Y +.5. 正态总体统计量的分布（三大抽样分布））【14：一；二；三1】1. 设4321,,,X X X X 相互独立且服从相同分布2(6),χ则1234~3X X X X ++ ．2. 设总体)1,0(~N X ，随机抽取样本125,,,X X X ，且()()()1212222345~3c X X t XX X+++，则c = ．3.设随机变量)(~n t X ，则随机变量~2X Y =（ ）.（A ）)(2n χ （B ）)(n n F ， （C ）)1(，n F （D ）)1(n F ， 4. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是_____ _____．①)(~/21n t n X -； ② )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-； ③)1,0(~/21N nX -； ④)(~)1(41212n X ni i χ∑=-三、1. 古典概型的概率计算（5分）【2,3应用题（含填空选择）】 2. 根据概率的性质计算条件概率（5分）【2：三1】已知 ()()()0.5,0.4,0.6P A P B P AB ===，求 ()(),P A B P A B .设,A B 是两个随机事件，()0.9,()0.36P A P AB ==，则()P A B = ；()|P B A = .四、已知连续型随机变量的概率密度，求概率和数学期望（10分） 【5：一3；三 8：三（会数学期望就可以）】1. 若随机变量)41(~e X ，求)4(≤X P ；)84(<<X P ；)(X E .2. 设随机变量X 的概率密度,01(),0240,2x ae x f x x x ⎧≤⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩(1)求a 值； （2）求概率(1)P X >-；（3）求)(X E .4.设某型号电子元件的使用寿命X （单位：小时）具有以下的概率密度函数21000,1000;()0,x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩其他.；现有一批此种元件（各元件工作相互独立），求概率(1500)P X ≥5. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，求)5.00(<<X P ；及X 的数学期望)(X E .6. 设随机变量X 的概率密度函数为,01()2,120,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，求)25.0(<<X P X 的数学期望)(X E .五、利用独立同分布中心极限定理计算概率（10分）（书110页定理） 【12：三；书111页例1】1.一加法器同时收到300个噪声电压 (1,2,,300)k V k =⋅⋅⋅，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,6)上服从均匀分布，记3001kk V V==∑，求{930}P V >的近似值.2. 某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率函数；（2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.3. 车间有100台机床，它们独立工作着，每台机床正常工作的概率均为0.8，正常工作时耗电功率各为1kw ，问供电所至少要供给这个车间多少电功率，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？六、求连续型随机变量单调函数的概率密度（10分）【7：三】1. 若随机变量X 的概率密度为21(), (1)X f x x x π=∈+ ，求随机变量31X Y -=的概率密度函数()Y f y .2. 设随机变量~(0,)X U π，求随机变量X Y 46-=的概率密度函数()Y f y .3. 若随机变量X 的概率密度为()X f x =,0480,xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他，求随机变量82+=X Y 的概率密度函数)(y f Y .七、单正态总体均值的双侧置信区间（方差未知）（10分） 【16：一2；三1（2）；3】1. 设12,,,n x x x 为正态总体2(, )N μσ的一组样本观测值，若σ未知，若样本容量为16，样本均值 2.705x =，样本标准差0.029s =，求参数μ的置信水平为0.95的置信区间．2. 某品牌清漆的干燥时间（小时）2~(, )X N μσ，现随机抽取9个样品，算得样本均值6x =，样本标准差0.5745s =.若σ未知，求μ的置信水平为0.95的置信区间.3. 生产一个零件所需时间（单位：秒）2~(,)X N μσ，观察25个零件的生产时间，得 5.5, 1.73x s ==，试求在置信水平为0.95下μ的置信区间.八、单正态总体方差的双侧假设检验（10分）【17：三3】1．一细纱车纺出某种细纱支数的方差是1.2，从某日纺出的一批细纱中，随机的抽取16缕进行支数测量，算得样本标准差1.2=s ，假设细纱支数服从正态分布，问细纱支数的均匀度有无显著变化？（0.05α=）2.自动车床加工某零件的直径服从正态分布2(, )N μσ原来的加工精度为0.09。

经过一段时间后，需要检验是否保持原来加工精度，为此随机抽取30个零件进行测量，算得样本方差20.1344s =，问该自动车床加工精度有无显著变化？（0.01α=）（10分）九、已知总体为离散型分布（含有一个未知参数），求其最大似然估计值（10分）【15：一1；三1】1. 设离散总体X 的概率函数为1(1x P x p p p -=-；）（） 1,2,x =.若样本观测值为12,,,n x x x ，求未知参数p 的最大似然估计值.十、证明题，证明估计量的无偏性（5分）【15:一2,3；二2】1. 设1234,,,X X X X 为来自总体X 的样本，1234ˆ(2)X X X X μθ=++-是总体均值μ的无偏估计量，则θ= ．2. 设随机变量 X 与Y 相互独立，已知3,4,EX EY ==2,DX DY σ==当k =_____时， 222()Z k X Y Y =-+是 2σ 的无偏估计．3 . 样本123,,X X X 取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2,证明下列各式 ① X 1+X 2+X 3不是μ的无偏估计②1233X X X ++是μ的无偏估计③ 22X 不是σ2的无偏估计④ 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭不是σ2的无偏估计。