FZ ( z ) = P(φ ) = 0, z ≤ 0 ; FZ ( z ) = P(Ω) = 1, z > 2
z2 , 0 < z ≤ 1 f Z ( z ) = FZ' ( z ) = z ( 2 − z ) , 1 < z ≤ 2 0 , 其它
0 ≤ x ≤1 公式法)： 法二 (公式法 ：注意到被积函数的非零区域G为： 公式法 注意到被积函数的非零区域G 0 ≤ z − x ≤ 1 +∞ 能否用 f Z ( z ) = ∫ f X ( x ) f Y ( z − x ) dx ? −∞ z +∞ f Z ( z) = f ( x, z − x )dx 2
第一章 事件的概率
概率论与数理统计总 概率论与数理统计总 复 习
1.古典概率 乘法原理、排列组合；几何概率—均匀分布 古典概率—乘法原理、排列组合；几何概率 古典概率 2. 概率的定义： ①非负性；②规范性；③可列可加性。 概率的定义： 非负性； 规范性； 可列可加性。 3. 概率的性质： ①P ( A ) = 1 − P ( A) ; P ( U Ai ) = 1 − P ( I Ai ); 概率的性质： ②P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ), P ( AB ) = P ( A) P ( B / A) . 4.两个概念(对立) 4.两个概念(对立)： 两个概念 ∪ A与B互不相容 → AB=φ → P(AB)=0, P(A∪B)=P(A)+P(B) 与 互不相容← A与B独立 ←→ 与 独立 ←→P(AB)=P(A)P(B)→ P(A)≠0时, P(B/A)=P(B) 独立←→ 时 5. 两个公式 n P( Ai ) P ( B / Ai ) P ( B) = ∑ P( Ai ) P( B / Ai ) , P( Ai / B ) = ③ P( B ) i =1
2.性质 2.性质 ⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X) ， ⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y) ± (4) 独立必不相关，反之则不一定。 独立必不相关，反之则不一定。
= 0.3 × 0.2 × 0.9 + 0.3 × 0.8 × 0.1 + 0.7 × 0.2 × 0.1 =0.092 P (C D) P( ABC ) = 0.3 × 0.2 × 0.9 = 0.587 = P (C / D ) = 0.092 P( D ) P( D)
公式： 法二 用Bayes公式： 公式 P (C) = 0.1, P (C ) = 0.9; P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
ai µi , ∑ ? i2σ i2 ) a ∑ ai X i ~ N ( ∑ ?
i =1 i =1 i =1
n
n
n
已知X~ 的概率密度。 例3 已知 f(x)，求Y= -X2的概率密度。 ， 用分布函数法。 解 用分布函数法。 y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) = P( X ≤ − − y ) + P( X ≥ − y ) = FX (− − y ) + [1 − FX ( − y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1 于是Y的概率密度为 于是 的概率密度为 1 1 −1/ 2 fY ( y ) = f X (− − y ) ⋅ (− y ) + f X ( − y ) ⋅ (− y ) −1/ 2 2 2 1 = (− y ) −1/ 2 [ f X (− − y ) + f X ( − y )] , y < 0 2
= ∫∫
{ g ( x , y )≤ z}IG
f ( x, y ) dxdy ⇒ f Z ( z ) = FZ′ ( z )
公式法： ② 公式法：
f X +Y ( z ) = ∫
+∞
独立时
−∞
f ( x, z − x)dx = ∫
+∞
−∞
f X ( x) fY ( z − x)dx
独立时， 的分布。 独立时，Min (X1, X2, …, Xn) 和 Max (X1, X2, …, Xn)的分布。 的分布
1 1− x
1 dy = 2
同理 E(X2 )=1/6, E(XY )=1/12. 从而 从而DX=E(X2 )- (EX )2=1/18 由对称性有 E(Y )= E(X )=1/3, DY= DX = 1/18. 于是 Cov (X, Y) = E(XY )- E(X) E(Y ) = 1/12-(1/3)2 = -1/36
5 随机变量的独立性 •正态分布的线性组合性质 含正态分布可加性 正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性 正态分布的线性组合性质 含正态分布可加性) 相互独立， 若Xi ~ N( µi，σi 2), i=1,2,...n, 相互独立，则对任 ( 何实数a 何实数 1, a2, …, an, 有
σ aX1 + b ~ N( aµ1 + b, a2? 12 ), ?
∫
[ x + ( z − x)]dx = z 2 , 0 ≤ z <1 ∫0 1 = ∫ [ x + ( z − x)]dx = z (2 − z ), 1 ≤ z < 2 1 z −1 0, 其他 G
z
−∞
x=z-1
x=z
1 x
0
数字特征小结(定义、含义、计算和性质) 第四章 数字特征小结(定义、含义、计算和性质) 1.计算 附表一：六大分布） 1.计算（附表一：六大分布）
独立， 互不相容， (2) 若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则 )}=____。 min{P(A)，P(B)}=____。 Q P ( AB ) = P ( A) P ( B ) = P (φ ) 0 (3) 已知 已知P(A)=0.3，P(B)=0.5。则当 与B相互独立时， 相互独立时， ， 。则当A与 相互独立时 0.65 ； 不相容时， 有P(A∪B)=_____；当A与B不相容时，有P(B-A)=____；当 ∪ 与 不相容时 0.5 ； 0.4 P(A/B)=0.4时，有 P( A B ) = _____ . 时
= 0.587.
填空(可作图帮助分析 可作图帮助分析) 例2 填空 可作图帮助分析 0.6 (1) 设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P ( AB ) =______ ， ，
Q P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) = 0.3,∴ P ( AB ) = 0.7 − 0.3 = 0.4
0.1 C 0.3*0.8+0.7*0.2
0.9
C
0.3*0.2 D
P( D / C ) = 0.3 * 0.2.
于是有
P (C ) ⋅ P( D / C ) P(C / D ) = P(C ) ⋅ P( D / C ) + P(C ) ⋅ P( D / C ) 0.9 * 0.3 * 0.2 = 0.1* (0.3 * 0.8 + 0.7 * 0.2) + 0.9 * 0.3 * 0.2
∑ xi pi D.R.V i E ( X ) = +∞ ∫−∞ xf ( x)dx C.R.V
2
∑ g ( xi ) pi D.R.V i E ( g ( X )) = +∞ ∫−∞ g ( x ) f ( x )dx C.R.V
E(X) , E(Y) , E(XY) E(X2) , E(Y2)
在三角形区域G: 例5 设C.R.V.(X, Y)在三角形区域 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x上 在三角形区域 上 服从均匀分布， 服从均匀分布，求Cov (X, Y)和ρXY. 和 解
1 / S = 2 , ( x, y ) ∈ G SG = ∫ dx ∫ f ( x, y ) = 0 0 ( x, y ) ∉ G 0 , 1 1− x 1 EX = ∫∫ xf ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ 2 xdy = 0 0 3 R2
fY 随机变量(X,Y )的联合密度函数为： 的联合密度函数为： 例4 设二维随机变量 的联合密度函数为
x + y , f (x, y) = 0, 0 ≤ x, y ≤ 1 其他
求随机变量Z=X+Y 的密度函数 Z(z)。 密度函数f 。 求随机变量 解
=
y 1 0 1 x
法一(分布函数法 ： 法一 分布函数法)： 分布函数法
FZ ( z ) = P( Z ≤ z ) = P( X + Y ≤ z )
( x + y ≤ z ) ∩G
∫∫ f ( x. y)dxdy
z z−x dx ∫ ( x + y )dy = z 3 / 3, 0 < z ≤ 1 ∫0 0 = 1 1 1 − ∫ dx ∫ ( x + y )dy = z 2 − ( z 3 + 1) / 3, 1 < z ≤ 2 z −1 z−x
第二、 第二、三章 随机变量及其分布 1.常用分布 B(n,p)，P(λ )，U[a,b]，E(λ )，N(µ, σ2 )； 1.常用分布 ， ， ， ， ； 二维均匀、二维正态 二维均匀、 +∞ 2.联合分布 联合分布和 2.联合分布和边缘分布 pi• = ∑ pij , f X ( x) = ∫−∞ f ( x, y )dy 3.概率的计算 一维或二维C.R.V. 一重或二重积分) 3.概率的计算 (一维或二维C.R.V.：一重或二重积分) C.R.V.： 4.随机变量函数的分布 4.随机变量函数的分布