则
有
：P 1 P
=
1 2
PP
2,
OP
=
0 P1
+
P1P
=
0 P1
+
1 3
P
1P
2
P1
y P2
P
=
0 P1
+
1 3
(
0
P
2
-
0 P1)
O
x
=
2 3
0 P1 +
1 3
OP
2
= ( 2x1 + x 2 ,2y1 + y 2 )
3
3
∴ 点 P的 坐 标 是 ( 2x1 + x 2 ,2y1 + y 2 )
3
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常， 让得 失利 弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不 计较 ，也 不 刻意执 着； 让生 命中 各种的 喜怒 哀乐 ，就 像风 儿一 样，来 了， 不管 是清 风拂 面，还 是寒 风凛 冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦 然的 接受 命运的 馈赠 ，把 是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
y
解: ∵AB =（1-（-1），3 -（-1））=（2，4）
AC =（2 -（-1），5 -（-1））=（3，6）
●C
又 2×6-3×4=0，
●B
∴AB∥ AC
∵直线AB、直线AC有公共点A，
A● 0
x∴A、B、C三点共线。
三点共线问题
(1)已知O→A＝(3，4)，O→B＝(7，12)，O→C＝(9，16)，求证： 点 A，B，C 共线； (2)设向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，求当 k 为 何值时，A，B，C 三点共线．
OP
2
= ( x1 +λ x 2 ,y1 +λ y2 ) 1+λ 1+λ
∴ 点 P的 坐 标 是 ( x1 +λ x 2 ,y1 +λ y 2 ) 1+λ 1+λ
y P2POx题型三 利用向量共线求分点坐标
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
【解】 (1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以 0－(－10－30k)＝0， 所以 k＝－13.故填－13. (2)因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， A→C＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为 2×6－3×4＝0， 所以A→B∥A→C，所以A→B与A→C共线． 又A→B＝23A→C，所以A→B与A→C的方向相同．
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x,y)
若 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 AB(x2x1, y2y1).
3.平面向量共线定理： a// b b 0 a b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量 与非零向量 唯一一个实数 ,
b使 平行(a 共 线 得 )当b 且 ( 仅b 当 有0 )
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
3
解法二:
设 点 P 的 坐 标 为 （ x ,y ）
若
P1P
=
1 PP 2
2 ,则
P 1P
=
1 3
P 1P
2
P1P = ( x ,y ) - ( x 1,y 1) = ( x - x 1,y - y 1)
y P2
P
1 3
P1P
2
=
1 3
( x 2 - x 1,y 2 - y 1)
P1
= ( x2 - x1 ,y2 - y1)
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2)
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
①
若
点
P靠
近
p点 1
法二：由已知得A→B与A→C共线， 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k －12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 k＝11 时，A，B，C 三点共线．
∴xy＋－43＝＝－2＋4＋2x2y ，解得xy＝＝8－5 . ∴P 点坐标为(－5,8)． 综上，点 P 的坐标为13，0或(－5,8)． 小结 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可 以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论．
本课小结
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面 几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平 行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几 何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参 数的值，要注意方程思想的应用，向量共线的条件， 向量相等的条件等都可作为列方程组的依据.
强化训练
【典型例题】 例 1 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a
－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
解 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b 与 a－3b 平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
∴(x1，y1)＝x1，xx12y2＝xx12(x2，y2) 令 λ＝xx12，则 a＝λb.所以 a∥b.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
3. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)a//b(b0)ab;
(2)a//b(a(x1,y1),b(x2,y2),b0)
x1y2x2y10
即时自测
已知 a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若 a∥b，则实数 λ 的值为________．
答案：23
题型一：向量共线的判定
(1)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)， 则 k＝________． (2)已知 A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，那么A→B与A→C是否共 线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解】 (1)证明：由题意知A→B＝O→B－O→A＝(4，8)， A→C＝O→C－O→A＝(6，12)，所以A→C＝32A→B， 即A→B与A→C共线． 又因为A→B与A→C有公共点 A，所以点 A，B，C 共线．
(2)法一：因为 A，B，C 三点共线，即A→B与A→C共线， 所以存在实数 λ(λ∈R)，使得A→B＝λA→C. 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k －12)， 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即4－－7k＝＝λ（λ（k1－0－12k）），，解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 k＝11 时，A，B，C 三点共线．
会得到什么样的重要结论?
设 a(x1,y1),b(x2,y2)
,b
0
即 x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由 a b得
x1y2x2 y10
这就是说: a//b(b0)当且仅当
x1y2x2y10
问题 1 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果 a∥b，那 么 x1y2－x2y1＝0，请你写出证明过程． 答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
解 设 P 点坐标为(x，y)． ∵|A→P|＝2|P→B|，∴A→P＝2P→B或A→P＝－2P→B. 当A→P＝2P→B时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴xy－＋34＝＝4－－2－2y2x
，解得x＝13 y＝0
，∴P 点坐标为13，0.
当A→P＝－2P→B时，
则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
第二章 平面向量
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
本节目标
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 3．掌握三点共线的判断方法．
2. 向量的坐标运算： a(x1，y1) b(x2， y2)
a b (x1 x2，y1 y2) a b (x1 x2，y1 y2)