反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图 1，过双曲线上任一点A 作 x 轴、 y 轴的垂线 AM 、AN ，，所得矩形 AMON的 面 积 为 ： S=AM ×AN=|x| ×|y|=|xy|.又 ∵y=k，xY A∴xy=k.N∴S 矩形 AMON =|k|. ∴ S AOM1| k | . O M X2这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、 Y 轴的垂线，所图 1得矩形的面积为 |k|, 这是系数 k 的几何意义，明确了 k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题：1、求函数的解析式例 1 如图 2 所示，在平面直角坐标系中， 一次函数 ykx 1的图象与反比例函数 y9 x的图象在第一象限相交于点A ．过点 A 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形 OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．解析 四边形OBAC 是正方形及反比例函数9 的图象CAyx在第一象限相交于点A ，则正方形 OBAC 的面积为： S ＝ xy ＝ 9，所以正方形的边长为xOB3，即点 A 的坐标（ 3， 3，）。

图 22 将点 A （3， 3，）代入直线得 y=x+1。

32.特殊点组成图形的面积例 2 如图 3，点 A 、 B 是双曲线 y3 上的点，分别经过x垂线段，若则．S 阴影 1， S 1 S 2解析 由 A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等，∴ S 1+S 阴影 ＝ S 2+S 阴影 ＝ xy ＝ 3.∵ S 阴影 1，A 、B 两点向 x 轴、 y 轴作yAS1BS 2Ox图 3∴ S 1 S 2 2＋ 2＝ 4。

图 42 例3 如图 4，A 、 B 是函数 y的图象上关于原点对称的任意两点，xBC ∥ x 轴， AC ∥ y 轴， △ ABC 的面积记为 S ，则（）A ． S2 B ． S 4 C ． 2 S 4D ． S42解析∵ A 、B 是函数 y的图象上关于原点对称的任意两点，x1 ∴ △ ABC 的面积记为 S ＝ 4S △ AOD =4 × xy=4.23、求字母的值例 4 如图 5，直线 y=mx 与双曲线 y= k交于 A 、B 两点，过点Ax作 AM ⊥ x 轴，垂足为 M ，连结 BM,若 S ABM =2，则 k 的值是 （）图 5A ． 2B 、 m-2C 、mD 、 4解析∵ 直线 y=mx 与双曲线 y= k交于 A 、B 两点，已知 A,B 两点关于原点O 对称，所△AOM =2 ×1x以SABMxy=xy=2=2S2∴ k=2。

例 5 如图 6，已知双曲线yk ( k 0 ) 经过直角三角形OAB 斜边 OB 的中点 D ，与直角＞x边 AB 相交于点 C ．若 △ OBC 的面积为 3，则 k ＝____________ ．解析：由双曲线 yk( k ＞ 0 ) 经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D ，x设点 D 的坐标（ x,y ），又 DE ∥ BA,∴ 点 B 的坐标为（ 2x,2y ），∵ △ OBC 的面积 3,∴1OA.AB= 1 × 2x × 2y=2xy=2k=3,图 622∴ k=3.24、求线段的长度例 6 如图 7，已知一次函数 y x 1的图象与反比例函数 yk的图象在第一象限相交x于点 A ，与 x 轴相交于点 C ，AB ⊥ x 轴于点 B ， △ AOB 的面积为 1 ，则 AC 的长为（保留根号）．解析： ∵ △ AOB 的面积为 1，∴1k=1,k=2。

y2A解方程组 y=x+12,Y=xC O Bx得A 的坐标（ 1， 2）。

由一次函数 yx 1的图象与 x 轴相交于点 C ，图 7∴ OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得 AC ＝2 2 。

5、探讨面积的变化例 7 如图 7，在直角坐标系中， 点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 B 是双曲线 3yx（ x0 ）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，y△ OAB 的面积将会（）BA ．逐渐增大B ．不变xOC ．逐渐减小D ．先增大后减小A图 8解析 ∵ A 是 x 轴正半轴上的一个定点， ∴ OA 的长度是定值，即 △OAB 的底边一定。

∵ 点 B 是双曲线y 3 0 ）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，（ xx∴ 纵坐标 y 的值逐渐减小，故 △OAB 的面积将会逐渐减小，选B 。

6.确定自变量的取值范围例 8 已知一次函数1x1, 点 P 在反比例函数 y 2k(k 0) 的图象上 ,PA ⊥x 轴 ,垂足为yxA,PB ⊥ y 轴 ,垂足为 B,且四边形 AOBP(O 为坐标原点 )的面积为 2.⑴ 求 k值;⑵ 求所有满足y 1y 2 的 x;⑶ 试根据这两个函数的图象,写出满足y 1y 2的x 的取值范围(只需直接写出结论).分析 :根据四边形AOBP 的面积为2,可以求出反比例函数中的k 值 .再利用y 1y 2 转换为一元二次方程求出相应的x 值 .解 :(1)四边形 AOBP(O 为坐标原点 )的面积为 2,k=2.⑵ x 12, 解得 x=-2 或 x=1.x⑶由图象得当 -2＜ x＜ 0 或 x＞ 1 时 ,满足 y1y2 .点拨 :反比例函数常与一次函数结合起来考查,而反比例函数独有的特性就是反比例函数图象上任意一点向坐标轴做垂线,形成矩形的面积为|k|.探究反比例函数中k 的意义反比例函数y kx(k ≠的0)比例系数k 的意义，除同学们熟悉的“当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随 x 的增大而减小；当k<0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随 x 的增大而增大”外，还有一个非常重要的意义，即过反比例函数k(k≠0)的图像上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线，与两坐标轴所yxk围成矩形的面积都等于k ；过反比例函数 y x 轴 (或 y 轴 )的垂线，(k≠0)图像上任意一点作xk.且连结坐标原点，与坐标轴所围成三角形的面积都等于2探究 1：若 P(x，y)为反比例函数y ky (k≠0)图像上的任意x一点如图 1 所示，过 P 作 PM⊥ x 轴于 M，作 PN⊥ y 轴于PNN，求矩形 PMON 的面积 .M O x 分析： S 矩形PMON= PM PN y x xy∵ y k图 1 , ∴ xy=k, ∴ S = k .x探究 2：若 Q(x，y)为反比例函数k(k≠0)图像上的任意一点如图 2 所示，过 Q 作 QA⊥ x yx轴于 A(或作 QB⊥ y 轴于 B)，连结 QO，则所得三角形的面积为：k kS△QOA= （或 S△QOB=）.22（本题由同学们自己试着说明理由）说明：当 k>0 时，所围成的矩形的面积为k，三角形的面积为k ；2当 k<0 时，所围成的矩形的面积为-k，三角形的面积为k.以上结论与点在反比例函数图2像上的位置无关 .yBQO A x图 2应用举例：例 1 如图 3，在反比例函数y 6P ，过 P 点分别作x轴、（ x＜ 0）的图象上任取一点xy 轴的垂线，垂足分别为M、N，那么四边形PMON 的面积为．解： S 四边形PMON= k66.yP NM 0x图 3例 2 反比例函数y k4 所示，点 M 是该函数图象上一点，MN ⊥ x 轴，垂的图象如图x足为 N.如果 S△MON=2，求这个反比例函数的解析式．yk=2, ∴k =4, ∴ k= ±4．M 解：∵ S△MON =2又∵ 双曲线在第二、第四象限内，∴k＜ 0，N O x∴ k=-4, ∴所求反比例函数的解析式为y4图 4．x。