课时作业11合情推理
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()
A．三角形B．梯形
C．平行四边形D．矩形
【答案】C
【解析】只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.
|
2．下列类比推理恰当的是()
A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有：log a(x＋y)＝log a x＋log a y B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(a＋b)n＝a n＋b n
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有：a·(b＋c)＝a·b＋a·c
【答案】D
【解析】A，B，C三个选项没有从本质上类比，是简单类比，从而出现错误．
3．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列前n项的和为S(n)，则S(16)等于()
?
A．128 B．144
C．155 D．164
【答案】D
【解析】由题意可知该数列的前16项为：1,2,3,3,6,4,10,5,15,6,21,7,28,8,36,9.故S(16)＝1＋2＋3＋…＋36＋9＝164.
4．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为
()
~
A．■B．△
C．□ D．○
【答案】A
【解析】每一行、每一列的图形都有两个黑色．
5．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4, |x|
＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为() A．76 B．80
C．86 D．92
【答案】B
…
【解析】由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．
6．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形
那么下列图形中，
可以表示A*D、A*C的分别是()
A．(1)、(2) B．(2)、(3)
|
C．(2)、(4) D．(1)、(4)
【答案】C
【解析】由A*B、B*C、C*D、D*B的定义图形知A为，B为，
C为——，D为.
二、填空题(每小题10分，共30分)
7．(2014·陕西理)观察分析下表中的数据：
．【答案】F＋V－E＝2
【解析】本题考查归纳推理．
,
5＋6－9＝2，
6＋6－10＝2，
6＋8－12＝2，
∴F＋V－E＝2.
8．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．
【答案】13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
【解析】根据已知条件，第四个等式应为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．
9．如图所示，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，写出类似的命题：________.
<
【答案】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与棱AB 、BB 1、BC 所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2
(或：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与平面ABCD 、ABB 1A 1、BCC 1B 1所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1)
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(13分)已知{a n }满足a 1＝1,4a n ＋1－a n ·a n ＋1＋2a n ＝9，写出a 1、a 2、a 3、a 4，试猜想出这个数列的通项公式．
【解析】 由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9 得a n ＋1＝2－1a n －4
，
，
∴a 2＝2－1a 1－4＝2＋13，a 3＝2－1a 2－4＝2＋3
5，
a 4＝2－1a 3－4＝2＋5
7，猜想：a n ＝2＋2n －32n －1
.
11．(13分)在平面几何里有勾股定理：“若三角形有两条边垂直，
则这两条直角边的平方和等于第三边的平方．”拓展到空间中，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出什么结论请你证明．
【分析】 在平面上是线的关系，在空间就有可能是面的关系．类
比一下：直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，那么直角顶点所对的面的面积就可能具有类似的关系.
【解析】“若三棱锥有三个面，两两互相垂直，则这三个面的面积的平方和等于这三个面相交的顶点所对面的面积的平方．”
证明如下：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABC，平面ACD，平面ABD两两垂直，则AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD.
过点A作AE⊥CD于点E，连接BE.
|
由题，易得BE⊥CD，AB⊥AE.
∴S2△BCD＝1
4CD2·BE2
＝1
4CD2(AB2＋AE2)
＝1
4(AC2＋AD2)AB2＋
1
4CD2·AE2
＝S2△ABC＋S2△ADB＋S2△ACD.
【规律方法】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法．类比推理时有可能出现错误，如：由命题“在平面内，已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a，c平行．”类比推理得到“在空间，已知三个平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ.”但实际上，α，γ之间可能平行，也可能相交，所以这里类比推理得到的结论为假．
12．(14分)把正整数排列成如图所示的数阵．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
(1)求数阵中前10行所有的数的个数； (2)求数阵中第n 行的第一个数；
(3)2 007是数阵中第几行的第几个数(从左向右数)
【解析】 (1)数阵中第n 行有n 个数，所以前10行所有的数的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55.
(2)数阵中前n 行所有的数的个数为1＋2＋3＋…＋n ＝1
2n (n ＋1)，所以第n 行最后一个数为12n (n ＋1)，则第n 行第一个数为1
2n (n ＋1)－(n －1)＝12n 2－1
2n ＋1.
(3)当n ＝63时，数阵中第63行最左边的数为1
2×63×64－62＝1 954.数阵中第63行最右边的数为1
2×64×63＝2 016，所以2 007位于数阵中第63行．又因为2 007－1 954＝53，故2 007是数阵中第63行的第54个数．。