傅里叶级数（Fourier Series ）引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数)sin(ϕω+=t A y 就是一个以ωπ2为周期的函数。

其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为角频率，ϕ为初相。

但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。

具体地说，将周期为)2(ωπ=T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数)sin(n n t n A ϕω+组成的级数来表示，记为∑∞=++=10)sin()(n n n t n A A t f ϕω 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数。

将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。

在电工学上，这种展开称为谐波分析。

其中常数项0A 称为)(t f 的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波（又叫做基波）；而)2sin(22ϕω+t A ， )3sin(33ϕω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。

为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ωϕωϕϕωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,200，则上式等号右端的级数就可以改写成∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。

1.函数能展开成傅里叶级数的条件（1） 函数)(x f 须为周期函数；（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点）（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。

若满足以上条件则)(x f 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x 是)(x f 的连续点时，级数收敛于)(x f ，当x 是)(x f 的间断点时，级数收敛于)]0()0([21++-x f x f 。

、 以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet ）充分条件）的内容。

2.函数展开成傅里叶级数（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：所谓三角函数1， ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos nx nx x x x x ① 在区间],[ππ-上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间],[ππ- 上的积分等于零，即⎰-=ππ0cos nxdx )3,2,1( =n ， ⎰-=ππ0sin nxdx )3,2,1( =n ， ⎰-=ππ0cos sin nxdx kx )3,2,1,( =n k ， ⎰-=ππ0cos cos nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠= ， ⎰-=ππ0sin sin nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠= . （2）傅里叶系数的推导设)(x f 是周期为π2的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数)(x f 的傅里叶级数记作∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ② 那么傅里叶系数 ,,,110b a a 如何利用)(x f 表达出来？先求0a ，对②式从π-到π逐项积分：=⎰-ππdx x f )(∑⎰⎰⎰∞=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡++10sin cos 2n n n nxdx b nxdx a dx a ππππππ 根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：=⎰-ππdx x f )(π220⨯a 从而得出 ⎰-=πππdx x f a )(10 其次求n a ，用nx cos 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得⎰⎰--=ππππnxdx a nxdx x f cos 2cos )(0∑⎰⎰∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++12cos sin cos n n n nxdx nx b nxdx a ππππ 根据三角函数系①的正交性，可以得出： πππππππn n n a nx a nxdx a nxdx x f =+==⎰⎰⎰---22cos 1cos cos )(2 ⎰-=⇒πππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1( =n . 类似地，用nx sin 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得⎰⎰--=ππππnxdx a nxdx x f sin 2sin )(0∑⎰⎰∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++12sin cos sin n n n nxdx b nxdx nx a ππππ 根据三角函数系①的正交性，可以得出：πππππππn n n b nx a nxdx a nxdx x f =-==⎰⎰⎰---22cos 1sin sin )(2 ⎰-=⇒πππnxdx x f b n sin )(1 )3,2,1( =n 由于当0=n 时，n a 的表达式正好给出0a ，因此，已得结果可以合并写成⎰-=⇒πππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1,0( =n ，⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1 )3,2,1( =n ，例： 设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤--=.0,1,0,1)(ππx x x f 将)(x f 展开成傅里叶级数。

解 所给函数满足收敛定理的条件，它在点),2,1,0( ±±==k k x π处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理可知)(x f 的傅里叶级数收敛，且当πk x =时级数收敛于 02)1(1211=-+=+-， 当πk x ≠时级数收敛于)(x f 。

计算傅里叶系数如下：⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1 ⎰⎰+-=-ππππ00cos 1cos )1(1nxdx nxdx 0= )3,2,1,0( =n ；⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1 ⎰⎰+-=-ππππ00sin 1sin )1(1nxdx nxdx +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0cos 1ππn nx ππ0cos 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n nx ]1cos cos 1[1+--=πππn n n ])1(1[2n n --=π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.,6,4,2,0,,5,3,1,4 n n n π将求得的傅里叶系数代入，得出)(x f 的傅里叶级数展开式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++= x k k x x x f )12sin(1213sin 31sin 4)(π +∞<<-∞x (；),2,,0 ππ±±≠x .3.奇函数和偶函数的傅里叶级数定理：设)(x f 是周期为π2的函数，满足收敛定理的条件，则① 当)(x f 为奇函数时，它的傅里叶系数为⎪⎭⎪⎬⎫====⎰ππ0).,3,2,1(sin )(2),,2,1,0(0n nxdx x f b n a n n ② 当)(x f 为偶函数时，它的傅里叶系数为⎪⎭⎪⎬⎫====⎰).,3,2,1(0),,2,1,0(cos )(20 n b n nxdxx f a n n ππ 下面对这个定理加以证明（1）证 设)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-。

按傅里叶系数公式有：⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1 ⎰⎰+=-ππππ00cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以x -代替x ，然后对调积分的上下限同时更换它的符号，得⎰⎰+---=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f a n ⎰⎰+-=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f .),2,1,0(0==n同理 ⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1 ⎰⎰+=-ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ⎰⎰+---=ππππ00sin 1))(sin()(1nxdx x dx nx x f⎰⎰+=ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ).,3,2,1(sin )(20 ==⎰n nxdx x f ππ（2）证 设)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-。

同（1）利用定积分换元法⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1 ⎰⎰+=-ππππ00cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f ⎰⎰+---=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f ⎰⎰+=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f ).,3,2,1,0(cos )(20 ==⎰n nxdx x f ππ⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1 ⎰⎰+=-ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ⎰⎰+---=ππππ00sin 1))(sin()(1nxdx x dx nx x f ⎰⎰+-=ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f .),2,1,0(0 ==n这个定理说明了：如果)(x f 为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数∑∞=1sin n n nx b 如果)(x f 为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数∑∞=+10.cos 2n n nx a a4.傅里叶级数的复数形式傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。

设周期为π2周期函数)(x f 的傅里叶级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ③ 其中系数n n b a ,为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰--ππππππ).,3,2,1(sin )(1),,2,1,0(cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ④ 利用欧拉公式 2cos it it e e t -+=，ie e t itit 2sin --= 于是③式化为 ∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++10)(2)(22n inx inx n inx inx n e e ib e e a a.)22210∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=n inx n n inx n n e ib a e ib a a ⑤ 记n n n n n n c ib a c ib a c a -=+=-=2,2,200 ),,3,2,1( =n 则⑤式就表示为 [].)210∑∞=--++n inx n inx n e c e c a +==0)(n inx n ec [].)1∑∞=--+n inx n inx n e c e c inx n n e c ∑∞-∞==⑥⑥式即为傅里叶级数的复数形式。