20
30
(2 x 1) ( x 1) lim 82 x ( x 1)
4
78
4 78 1 78 x 4 (2 1 ) x ( 1 4 x x) lim 2 16 82 82 1 x x (1 x )
5.先变形再求极限 (利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
a0 b , 当n m, 0 n n 1 a 0 x a1 x a n lim 0, 当n m, m m 1 x b x b1 x bm 0 , 当n m,
例
解
4x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
lim( x 2 2 x 3) 0
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 0. lim x 1 3 4x 1
2
4x 1 . 由无穷小与无穷大的关系,得 lim 2 x 1 x 2 x 3
1 lim 1 2 x x
x
x
x 2a 8 ，求 2 xlim xa
a
2012年数学三考研试题
(第二答题填空题第9小题)
9.
lim(tan x)
x
1 cos x sin x

4
12. 应用数列的单调有界收敛准则求极限
【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有 下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。 例
cos x 2
x 0 3
1 x 1
.
2008年数学三考研试题
(第三大题第15题10分)
(15)
1 sin x lim 2 ln . x 0 x x
11. 应用两个重要极限求极限
两个重要极限是
sin x lim 1 x 0 x
和
1 1 x 1 n lim(1 ) lim(1 ) lim(1 x) x e x n x 0 x n
x 1 2
2 2 1 e x 1
1 2
2
例 解
1 x 求 limຫໍສະໝຸດ 1 ) . x x1 1 1 x 1 . 原式 lim[(1 ) ] lim x x 1 x e x (1 ) x
练习 1
方法总结： 对于求无穷多项的极限和不符合四则运 算的极限，先通过变形在求极限;
2005年数学三考研试题 （第三大题15小题8分）
(15)
1 x 1 lim( ). x x 0 1 e x
6.利用无穷小运算性质求极限
例 解
sin x 求 lim . x x
1 当x 时, 为无穷小, x
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1, 由夹逼定理得 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
n
lim
n
2
n 1
lim
n
1
1 1, 1 n
1
说明：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算， 这道题是不可以的。
( x 2 3 x 2 1)( x 2 3 x 2 1) x2 3 x2 1 2 x 3 x 1
2 2
x
lim
x
0
例 求 lim
x 0
x +4 2
2
x +9 3
2
.
(分子分母有理化消去零因子)
x 2 +4 2 x 2 +9 3 ( x 2 +4 2)( x 2 +4 2)( x 2 +9 3) ( x 2 +4 2)( x 2 +9 3)( x 2 +9 3) x 2 ( x 2 +9 3)
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种 求极限的方法和相关问题
1.代入法求极限
例1.lim( x x 2)
2 x 2
例2.设有多项式Pn ( x) a0 x a1 x
n
n 1
... an ,
求 lim Pn ( x).
x x0
lim Pn ( x) a0 ( lim x) n a1 ( lim x) n1 a n
因为 所以
1 lim 0 lim 0 x x n 1
1 x n sin 3 x lim dx 0 x 01 sin 3 x
10. 用等价无穷小量代换求极限
常用的等价无穷小量 : 当x 0时: (1) x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ e x 1; x2 (2)1 cos x ~ ; 2 (3)e x 1 ~ x; (4) ln(1 x) ~ x; (5)a x 1 ~ x ln a; (6)(1 x) 1 ~ x.
1 a xn 1 xn 设 a 0 ，x1 0 ， 2 xn
(n 1, 2,3, )
（1）证明
lim xn 存在； （2）求 lim xn . n n
2
7.利用左右极限求分段函数极限
例 解
x 0
1 x, 设 f ( x) 2 x 1,
x0 , 求 lim f ( x ). x 0 x0
x 0是函数的分段点 , 两个单侧极限为
x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
2 lim f ( x ) lim ( x 1) 1, x 0
y
sin x x
而 sin x是有界函数.
sin x lim 0. x x
1 练习1. 求 lim x sin . x 0 x 1 练习2. 求 lim sin x. x x 1 练习3. 求 lim x sin . x 0 x 1 练习4. 求 lim x sin . x x sin x 练习5. 求 lim . x 0 x
第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。 主要考第二个重要极限
x 1 例：求极限 xlim x 1
1 X ，最后凑指数部分。
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑
解
x x 2 1 x 1 lim 1 x 1 xlim 1 xlim x x 1 x 1 2
y 1 x
y x2 1
y
x 0
1
左右极限存在且相等,
o
x
故 lim f ( x ) 1.
x 0
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例
2 2 lim ( x 3 x 1) 求极限 x
x
lim ( x 2 3 x 2 1) lim
例 解
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
lim
x 0
lim
x 0
3 lim x 0 2 x ( x 2 +4 2) 2
9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限
说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法
是都换成最大的和最小的。
例
求 lim(
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1

x ln(1 x) 例：求极限 lim x 0 1 cos x
解
x ln(1 x) xx lim lim 2 x 0 1 cos x x 0 1 2 x 2
2. lim
x 0
(e2 x 1) ln(1 x) 练习：1. lim x 0 1 cos x
x x0 x x0
x x0
a0 x0 a1 x0
n
n 1
an
Pn ( x0 ).
x2 5x 6 例3. lim x 1 3 x 2 2
商的法则(代入法)
方法总结：
多项式函数与分式函数(分母不为0)用 代入法求极限;
2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例 解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
5 x3 2. 1 7 3 x
2x 3x 5 求 lim 3 . 2 x 7 x 4 x 1
3 2
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限.
1 2 例 lim( 2 ) x 1 x 1 x 1
1 2 x 1 2 lim( 2 ) lim( 2 2 ) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 2