合肥市2018年高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知i 为虚数单位，则()()2342i i i+-=- （ ）A.5B.5iC.71255i -- D.71255i -+ (2)已知等差数列{}n a ，若210a =，51a =，则{}n a 的前7项的和是（ ）A.112B.51C.28D.18 (3)已知集合M 是函数112y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N =（ ）A.1{|}2x x ≤ B ．1{|4}2x x -≤< C.1{(,)|4}2x y x y <≥-且 D.∅ (4)若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程为2y x =-，则该双曲线的离心率是（ ）A.52B.3C.5D.23 (5)执行下列程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（ ）A.2B.3-C.12-D.13(6)已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布(100 4)N ，．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98 104，内的产品估计有（ ）A.3413件B.4772件C.6826件D.8185件(附：若X 服从2()N μσ，，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)P X μσμσ-<<+0.9544=)(7)将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ）A.22a πϕ==， B.328a πϕ==， C.3182a πϕ==， D.122a πϕ==， (8)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ）A.201821-B.201836- C.20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D.201811033⎛⎫-⎪⎝⎭(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.518π+B.618π+C.86π+D.106π+ (10)已知直线210x y -+=与曲线xy ae x =+相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是（ ）A.12B.1C.2D.e (11)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元(12)已知函数()22f x x x =-，()2x e g x x =+(其中e 为自然对数的底数)，若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有4个零点，则k 的取值范围为（ ）A.()1,0-B.()0,1C.221(,1)e e -D.221(0,)e e - 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.(13)若平面向量a b ，满足2 6a b a b +=-=，，则a b ⋅＝ .(14)已知m 是常数，()554325432101mx a x a x a x a x a x a -=+++++，且12345a a a a a ++++33=，则m = .(15)抛物线24E y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (第一象限内．．．．．)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 _____ .(16)在四面体ABCD 中，2AB AD ==，6090BAD BCD ∠=∠=，，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，(2)cos cos 0a b C c A -+=. (Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)若23c =，求ABC ∆的周长的最大值．(18)(本小题满分12分)2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科．每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目．假设某位考生选考这六个科目的可能性相等. (Ⅰ)求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；(Ⅱ)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立．用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.(19)(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.(Ⅰ)求证：平面BDM ∥平面EFC ；(Ⅱ)若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.(20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12 F F ，，交y 轴于点12B B ，．以12B B ，为顶点，12 F F ，分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点1 ⎛ ⎝⎭. (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)设经过点(2 0)-，的直线l 与椭圆E 交于M N ，两点，求2F MN ∆面积的最大值.(21)(本小题满分12分) 已知()ln(21)()af x x a R x=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)若()f x ax ≤恒成立，求a 的值.请考生在第(22)、(23)题中任意选择一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-＝. (Ⅰ)求曲线2C 的普通方程；(Ⅱ)若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求||MN 的最小值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.(Ⅰ)解关于x 的不等式()()11f x f x -+≤；(Ⅱ)若关于x 的不等式()()1f x m f x <-+的解集不是空集，求m 的取值范围．合肥市2018年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.－1 14.3 15.（4，4） 16.3三、解答题：17.（Ⅰ）根据正弦定理，由已知得：(sin 2sin )cos sin cos 0A B C C A -+=， ……1分即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴sin()2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴sin()sin()sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos B B C =，从而1cos 2C =. ……5分∵(0)C π∈，，∴3C π=.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理得 2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=， ……7分∴22()12332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，……9分即2()48a b +≤（当且仅当a b ==．所以，ABC ∆周长的最大值为c =. ……12分18.（Ⅰ）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则 3336119()=112020C P M C -=-=， 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920. ……5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值有0 1 2 3，，，.……6分因为2111(=0)==5480P X ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，212411131(=1)=+545448P X C ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2124131333(=2)=+=5445480P X C ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2439(=3)=5420P X ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭， ……10分所以X 的分布列为X123P180183380920所以1103336()=0123 2.380808080E X ⨯+⨯+⨯+⨯=.……12分19.（Ⅰ）证明：连结AC ，交BD 于点N ，∴N 为AC 的中点，∴//MN EC .∵ MN EFC EC EFC ⊄⊂平面，平面， ∴//MN EFC 平面.……3分∵BF DE ，都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE . ∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD EFC EF EFC ⊄⊂平面，平面， ∴//BD EFC 平面. 又∵MNBD N =，∴平面BDM ∥平面EFC . ……6分（Ⅱ）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形∴DADC DE ，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -. ……11分设2AB =，则4DE =，从而(2 2 0)B ，，，(1 0 2)M ，，，(2 0 0)A ，，，(0 0 4)E ，，， ∴(2 2 0) (1 0 2)DB DM ==，，，，，，设平面BDM 的一个法向量为( )n x y z =，，， 由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 22020x y x z +=⎧⎨+=⎩.令2x =，则21y z =-=-，，从而(2,2,1)n =--.……10分∵(2 0 4)AE =-，，，设AE 与平面BDM 所成的角为θ，则4sin |cos |15n AE n AE nAEθ⋅=<⋅>==⋅， 所以，直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为15. ……12分20.（Ⅰ）由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则b c =，∴22222ab c b =+=，∴椭圆E 的标准方程为222212x y b b+=.又∵椭圆E 过点(1 2，，∴2211212b b+=，解得 21b =. ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=.……5分（Ⅱ）由于点(2 0)-，在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线:(2)l y k x =+，设1122() ()M x y N x y ，，，. 由22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得, 2222(12)8820k x k x k +++-=.由0∆>得2102k ≤<，从而2122812k x x k-+=+，21228212k x x k -=+，∴12MN x =-=.∵点2(10)F ，到直线l 的距离d =∴2F MN ∆的面积为22221(24)32(12)k k S MN d k -=⋅=+……9分令212k t +=，则[1 2)t ∈，，∴22222(1)(2)323213133313248t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫===-+-=--+ ⎪⎝⎭当134t =即43t =(4[1 2)3∈，)时，S 有最大值，max 324S =，此时66k =±. 所以，当直线l 的斜率为6±时，可使2F MN ∆的面积最大，其最大值为324. ……12分21.（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，222222()21(21)a x ax a f x x x x x -+'=-=--. ……1分 ∵2210 0x x ->>，. 令2()22g x x ax a =-+，则（1）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()0g x ≥恒成立， 即当12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立）. ∴()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增.……3分（2）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2a x =. ①当0a <时，02a <，且11()022g =>. 如图1，任意12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()0g x >恒成立， 即任意12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>恒成立， ∴()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增. ②当2a >时，12a>，且11()022g =>.如图2，记()0g x =的两根为11(2x a =- ，21(2x a =.∴当()121 2x x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，时，()0g x >；当11 (22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，()0g x <. ∴当()121 2x x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，时，()0f x '>， 当()12x x x ∈，时，()0f x '<.∴()f x 在11 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()2 x +∞，上单调递增，在()12x x ，上单调递减. 综上，当2a ≤时，()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当2a >时，()f x 在11 (22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和1( 2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在11( (22a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减.……6分（Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于12x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ax -≤恒成立. 令()()ln(21)ah x f x ax x ax x=-=-+-，则 ()f x ax ≤恒成立等价于1 2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，，()0(1)h x h ≤=（*）. 要满足（*）式，即()h x 在1x =时取得最大值.∵3222(2)2()(21)ax a x ax ah x x x -++-+'=-.……8分由(1)0h '=解得1a =.当1a =时，22(1)(21)()(21)x x x h x x x --+'=- ，∴当1 12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当()1 x ∈+∞，时，()0h x '<.∴当1a =时，()h x 在1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在()1 +∞，上单调递减，从而()(1)0h x h ≤=，符合题意.所以，1a =.……12分22.（Ⅰ）由2cos 0ρθ-＝得：22cos 0ρρθ-＝.因为222cos x y x ρρθ=+=，，所以2220x y x +-=，即曲线2C 的普通方程为22(1)1x y -+=．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圆2C 的圆心为2C (1 0)，，半径为1. 设曲线1C 上的动点(3cos 2sin )M θθ，，由动点N 在圆2C 上可得：min 2min ||||1MN MC =-.……6分2||MC ==……8分当3cos 5θ=时，2min ||MC =min 2min ||||115MN MC ∴=-=-.……10分 23.（Ⅰ）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，……1分1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ ……4分⇔12x ≥或1142x -≤<⇔14x ≥-， 所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；……5分（Ⅱ）由条件知，不等式2121x x m -++<有解，则()min2121m x x >-++即可.……6分由于()2121122112212x x x x x x -++=-++≥-++=， ……8分当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故2m >. 所以，m 的取值范围是()2,+∞．……10分。