泰勒中值定理 B.Taylor 1685-1731 英国
观察 sinx 与一个多项式函数 f (x)
f ( x) x
1 3!
x
3
1 5!
x
5
1 7!
x
7
1 9!
x
9
1 3 1 5 1 7 y x x x x 3! 5! 7! 3 x y x 3!
6 4 2
[ f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如, 当 x 很小时, e 1 x , ln(1 x ) x
x
（如下图）
y ex
y ex
y x
y ln(1 x )
y 1 x
o o
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
( x)
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
f ( k ) ( x0 ) Pn ( x ) ( x x0 )k k 0 k! 称为 f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 次近似多项式
n
f ( k ) ( x0 ) f ( x) ( x x 0 ) k Rn ( x ) k 0 k! 称为 f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式
x
( n) x 解 f ( x) f ( x) f ( x) e ,

( n) f ( 0) f ( 0) f ( 0) f ( 0) 1
注意到 f ( n1 ) (x ) e x
2 n x
代入公式,得
x
x x e e 1 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x n1 2! n! ( n 1)!
Taylor公式
Maclaurin 公式
(n) f (0) 2 f (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x 2! n! ( n 1) f ( x) n 1 x (0 1) (n 1)!
简单的应用
例 1 求 f ( x ) e 的n 阶麦克劳林公式.
2
n
误差 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x )
Pn 和 Rn 的确定
分析:
近 似 程 度 越 来 越 好
1.若在 x0 点相交
y
y f ( x)
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn( x0 ) f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
2 3 n1 n n1
x x x n sin x x ( 1) o( x 2 n 2 ) 3! 5! ( 2n 1)!
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n! f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( 在x0与x之间) n 1!
问题: 寻找函数 P n ( x) , 使得 f ( x) P n ( x)
误差
R( x) f ( x) Pn ( x)
可估计
设函数 f ( x ) 在含有 x0 的开区间 (a , b ) 内具有直到
( n 1) 阶导数, Pn ( x) 为多项式函数
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 )
o
x0
x
假设
Pn( k ) ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) k 1,2,, n
1 a1 f ( x0 ),
(n) n 0
a0 f ( x0 ),
2!a 2 f ( x0 )
, n!a f ( x ) 1 (k ) 得 ak f ( x0 ) ( k 0,1,2,, n) k!
2. Taylor 定理说明用一个多项式近似表 示一函数，“以曲代曲”可以获得较好 的精确度，但是要求函数有高阶导数 。
3. 凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问 题，大部分都可以用Taylor 定理来解决。掌握了 Taylor 定理以后，回过头来看前面的那些理论， 似乎一切都在你的掌握之中了，你或许会有一种 “会当凌绝顶，一览众山小” 的感觉！从这个意 义上来讲，说“Taylor 定理是一元微分学的顶峰” 并非妄言。
如此下去,经过( n 1) 次后,得
( n 1 ) Rn ( x ) Rn ( ) n 1 n 1! ( x x0 ) (在x0与 n之间 ,也在 x0 与x 之间)
Pn( n1) ( x ) 0,
则由上式得
R
( n 1 ) n
( x) f
( n 1 )
f ( x0 ) Pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) n!
代入 Pn ( x ) 中得
泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x0 的某个开区间( a , b ) 内具有直到( n 1) 阶的导数 , 则 当 x 在( a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为( x x 0 ) 的一个 n 次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和:
Rn ( x ) Rn ( x ) Rn ( x0 ) n1 ( x x0 ) ( x x0 ) n 1 0 (1 ) Rn ( n 1)(1 x0 )n (1在x0与x之间)
n1
( x ) 及( n 1)( x x0 ) 在以 x0 及 两函数 Rn
f (0) 2 f ( x) f (0) f (0) x x 2! n o( x ) Maclaurin 1698-1746 英国

f
(0) n x n!
注 意:
1.当 n 0 时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
1 2 3 或者 =1-x x x 1 x
1 2 3 =1-x x x 1 x
(-1) x +Rn ( x)
n n
(-1) x +o( x )
n n n
常用简单函数的麦克劳林公式
2 n1 x3 x5 x sin x x ( 1) n o( x 2 n 2 ) 3! 5! ( 2n 1)! 2n x2 x4 x6 n x cos x 1 ( 1) o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!
n n
对于我们初学者来说，在给出函数的 Taylor展开式或者Maclaurin展开式时，我们 要知道有一个余项存在，也就是说一个一般 的函数不与一个n 次多项式函数完全相等，两 者有些差别，差别用余项来体现。但是余项 具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。 比如，给出函数
1 1 x
的Maclaurin展开式
( n 1 )
证明: 由假设, Rn ( x ) 在(a , b ) 内具有直到( n 1) 阶
导数,且
(n) ( x 0 ) Rn ( x 0 ) Rn Rn ( x 0 ) Rn ( x0 ) 0
两函数 Rn ( x ) 及 ( x x0 ) 在以 x0 及 x 为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0 2 4 6
6
4
2 2 4
问题的提出
1.设 f ( x ) 在 x 0 处连续,则有
以切直代曲 以平直代曲
f ( x ) f ( x0 )
[ f ( x ) f ( x0 ) ]
2.设 f ( x ) 在x0 处可导,则有
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
n
1 为端
点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
(1 ) (1 ) Rn ( x0 ) Rn Rn n ( n 1)(1 x0 ) ( n 1)(1 x0 )n 0 ( 2 ) Rn n( n 1)( 2 x0 )n1 ( 2在x0与1之间)
M ( x x0 ) n 1 n 1!
即 Rn ( x ) o[( x x0 )n ].
n
皮亚诺形式的余项
( x0 ) f ( x) ( x x0 )k o[( x x0 )n ] k! k 0 皮亚诺形式的余项用于极限计算
f
(k )
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( ) ( x x0 )n1 ( 在 x 0 与 x 之间). 其中 Rn ( x ) ( n 1)!
n
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
拉格朗日形式的余项
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 ) n 1 n 1! Rn ( x ) 及 lim 0 n x x0 ( x x ) 0
x x x ln(1 x ) x ( 1) o( x ) 2 3 n1 1 1 x x 2 x n o( x n ) 1 x m ( m 1) 2 m (1 x ) 1 mx x 2! m ( m 1)( m n 1) n x o( x n ) n!