4.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数,中位数,平均数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或
中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
如果n个数,x1,x2,…,xn,那么 的平均数.
x (x1n1+x2+…+xn)叫做这n个数
(2)系统抽样:系统抽样被称为等距抽样或机械抽样.它按照时 间或空间的等距间隔抽取样本,即将总体分成几个部分,然 后按照预先定出的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所 需要的样本,这种抽样称为系统抽样.系统抽样与简单随机 抽样的联系在于:将总体均分后的每一部分进行抽样时,采 用的是简单随机抽样.
(3)分层抽样:当总体中一部分个体与另一部分个体有明显的 差异且易于区别时,常将相近的个体归成一组,然后按照各 部分所占的比例进行抽样,这种抽样称为分层抽样.其中所 分成的各部分称为层.分层抽样时,每一个个体被抽到的概 率都是相等的.
4
的人数是25;令300<3+12(k-1)≤495得 <k≤42,因此第Ⅱ营区被 抽中的人数是42-25=17.结合各选项知,选B.
答案:B
3.(2010·山东)在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的 分数如下:
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分 别为( )
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从其中共抽 取100名学生进行考察(已知该校高三学生共1000人,若按成 绩分,其中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人). 根据上面的叙述,试回答下列问题:(1)上面三种抽取方式的 总体、个体、样本分别是什么?每一种抽取方式抽取的样 本中,样本容量分别是多少?(2)上面三种抽取方式各自采用 的是何种抽取样本的方法?(3)试分别写出上面三种抽取方 式各自抽取样本的步骤.
解题准备:1.简单随机抽样:抽签法:搅拌均匀后逐一抽取.
随机数表法:注意编号的灵活性,如对100个个体可用 00,01,01,02,…,99来编号.
2.系统抽样:对多余个体的剔除不影响总体中每个个体被抽到 的等可能性,仍然能保证抽样的2公0 平性1.0例. 如从1002个体中
1002 501
利用系统抽样抽取容量为20的样本,剔除2个个体后,每个个 体被抽到的可能性仍为
第十模块 概率与统计 第四十八讲 随机抽样､用样本估计 总体､变量间的相互关系､统计案例
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1.样本及抽样的定义
(1)在数理统计中称研究对象的全体为总体,组成总体的每一个 基本单元为个体,从总体中抽取若干个个体x1,x2,…,xn,这样 的n个个体x1,x2,…,xn称为大小为n(容量为n)的一个样本.
,这种相关称为正相关;反之,如果一个变量的值由小变大时, 另一个变量的值在由大到小,这种关系称为负相关.变量间 的这种关系与函数关系不同,它是一种非确定关系.
(2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形 叫做散点图.
6.回归直线方程
(1)一般地,设x和y是具有相关关系的两个变量,且对应于n个观 测值的n个yˆ 点 a大致b分x,布则在一条直线的附近,若所求的直线方 程为
3.频率分布表､频率分布直方图与茎叶图 (1)频率分布 样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比,就是该
数据的频率.所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律 叫做频率分布,可以用频率分布表､频率分布直方图､频率分 布折线图､茎叶图等来表示. (2)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端 的中点,就得到频率分布折线图.
我们将这个方程叫做回归直线方程,a,b叫做回归系数,相应的 直线叫做回归直线.
(2)最小二乘法 使离差平方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2为最小的
方法,叫做最小二乘法.
7.回归分析
y
(1)回归直线方程 =bx+a中,
n
xi yi n xy
b
(2)抽样:抽样是为了获取总体的信息,特别在客观实际中对总 体的全部个体逐一进行研究,有的是不适宜､不可能或不必 要的.因此,抽样调查是获取总体信息的重要方法.
2.随机抽样
(1)简单随机抽样:从一个总体中通过逐个抽取的方法从中抽 取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,这 样的抽样称为简单随机抽样.这样抽出的样本称为简单随机 样本.简单随机抽样的基本方法有抽签法和随机数表法.
答案:A
5.(2010·湖南)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,
则其yˆ 回归方程可能是( ) yˆ
A. =yˆ-10x+200
B. =10x+yˆ200
C. =-10x-200
D. =10x-200
解析:由图象知选项B､D为正相关,选项C不符合实际意义,故选
A.
答案:A
类型一抽样方法的综合应用
3.分层抽样:当总体中个体差异较大时,往往采用分层抽样的方 法,若有某些层面应抽取的个体数目不是整数时,可作适当 的细微调整.
【典例1】 为了考察某校的教学水平,将抽查这个学校高三年 级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况, 采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个 班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定 该校每班学生的人数相同):①从高三年级20个班中任意抽 取一个班,再从该班中任意抽取20名学生,考察他们的学习 成绩;②每个班抽取1人,共计20人,考察这20名学生的成绩;
5
5
故选B. 答案:B
4.(2010·福建)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如 茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5 C.91和91.5
B.91.5和92 D.92和92
1
1
解析:中位数为 (291+92)=91.5;平均数为 8
(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8
解析:去掉一个最高分95分与一个最低分89分后,所得的5个数
分别为90､90､93､94､93,
所以
x 90 90 93 94 93 460 92,
5
5
s2 2 (90 92)2 2 (93 92)2 (94 92)2 14 2.8,
第二种方式抽样的步骤如下:第一步,用简单随机抽样法从第 一个班中任意抽取一名学生,记其学号为a;第二步,在其余
第三种方式抽样的步骤如下:第一步,分层.因为若按成绩分,其 中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人,所以在 抽取样本时,应该把全体学生分成三个层次;第二步,确定各 个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个数之比为
(3)总体密度曲线
如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直 方图实际上越来越接近于总体在各小组内所取值的个数与 总数比值的大小,它可以用一光滑曲线来描绘,这条光滑曲 线就叫做总体密度曲线.
(4)茎叶图表示数据有两个突出的优点,其一是统计图上没有原 始数据的损失,所有信息都可以从这个茎叶图中得到,其二 是在比赛时随时记录,方便记录与表示.
答案:B
2.(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为 :001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样 本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区, 从001到300的第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到 600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( )
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数,如果在n个数据中 ,x1出现了f1次,x2出现f2x次,…1n ,xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n),
那么
(x1f1+x2f2+…+xkfk),叫做这n个数的加权平均数.
2 样本方差, 标准差设样本的元素为x1, x2 ,, x n , 样本的
(2)2×2列联表
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}和 {y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
n(ad bc)2
K2= (a b)(c d )(a c)(b用它d )的大小可以决定是否拒绝原来的
统计假设H0,如果K2值较大,就拒绝H0,即拒绝事件A与B无关.
平均数为x , 定义s2
1 n [( x1
x )2
( x2
x )2
( xn x )2 ],
s
1 n
[( x1
x )2
( x2
x )2
方差, s表示样本标准差.
( xn x )2 ], 其中s2表示样本
5.两个变量的相关关系 (1)当自变量的取值一定时,因变量的取值带有随机性,这两个
变量之间的关系叫做相关关系. 如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也在由小到大
的分布规律能较清楚的呈现出来.这时应注意:①一般样本 容量越大,所分组数越多;②为方便起见,组距的选择应力求 “取整”;③当样本容量不超过100时,按照数据的多少,通 常分成5~12组.
150 , 600 , 250 ,
11000:1100001=01:10,所以在每个层次中抽取的个体数依次为
即15,60,25;第三步,按层次分别抽取.在优秀生中 用简单随机抽样法抽15人;在良好生中用简单随机抽样法 抽取60人;在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.
类型二频率分布直方图和茎叶图 解题准备:1.作频率分布直方图的步骤: (1)求极差,即一组数据中最大值和最小值的差. (2)决定组距与组数.将数据分组时,组数应力求合适,以使数据