“走进期权”系列（第8期）
——期权定价原理
一、期权定价背景
郁金香期权合约
17世纪出现了具有期权性质的合约——郁金香期权合约，可以作为套保或投资工具
注：有关“郁金香事件”可参见第6期相关内容
决定合约价格
劳伦斯·巴施里耶Louis Bachelier
开创期权定价理论研究
先河
TIPS：
布朗运动——是一种正态分布的独立增量连续随机过程
1900年，在论文《投机理论》中首次股票期权进行定价运用布朗运动对股票价格变化给予了严谨的数学描述
劳伦斯·巴施里耶Louis Bachelier
局限性价格随机游走
股价可能为负值未考虑货币的时间价值
研究模型具有以下局限性：
理念超前，无人问津劳伦斯·巴施里耶
Louis Bachelier
巴施里耶领先于时代的研究在当时并
未得到重视，甚至花了很长一段时间才在
一个不出名的大学获得教职。
他的论文原稿曾一度遗失，直到20世
纪50年代才被萨缪尔逊重新进行评价。
虽然巴施里耶的研究存在问题，但实际上该模型对预测短期看涨期权的价格仍非常适用。
20世纪60年代
场外期权交易逐渐活跃，巴施里耶的理论被学者们重新认
识，学术界激起一波期权定价研究的潮流
……
各种经验公式、计量定价模型
纷纷问世
BS模型问世
1973年，Black和Scholes运用了无套利定价方法，构造一个由标的股票和期权的适当组合，使得组合收益不受价格波动影响，在此基础上，得出了欧式认购期权的定价公式。
在实证中发现，BS定价公式给出的理论价格和市场价格非常接近。
标的股票
期权
二、期权定价原理
预备知识
利用一个或多个市场存在的价格差异，可以在没有任何损失且无
需自有资金的情况下获取利润
套利
小进
小进发现，国外奢侈品价格几乎是国内的一半，如果进行代购生意利润非常可观。
于是在出国前，小进接了许多代购订单，并回国销售从而套利。
当越来越多的小进加入代购队伍，
销售价格将会被逐步压低
套利的利润空间渐渐压缩，
最终支出成本可能会大于收益
套利机会消失，回到均衡状态
金融市场中价格变化非常快，因此套利机会一闪即逝，价格上的
“错误”会被及时修正
在市场不存在套利机会的前提下，经典BS模型通过构建无风险组合
对期权进行定价
无风险组合的收益率
等于
市场无风险利率
STEP 1-1
定义字母
S 0
期初期末
S u
S d
股票价格
基础定价解析
基础
=
假设期末股票只可能上涨至S u 或下跌至S d 两种情况
u d
上升系数下降系数S 0
S u =
S 0
S d 期初与期末股价关系可以用升降系数表示：
C 0
期初
期末
C u
C d
期权价格
假设某认购期权行权价格为K ，该期权价格的涨跌变化与股价变化相对应
STEP 1-2
定义字母
上涨
下跌
C u =max(S u -K,0)
C d =max(S d -K,0)
到期时，期权价格为内在价值，则：
STEP 2
构建组合
卖出
1
份认购期权
买入
H
份股票
思路：假设构建这样一个组合，组合包括1份期权与H 份股票
+
1份×C H 份×S
组合
期初资产
多头——股票：HS 0空头——期权：C
HS 0-C 0
STEP 3
计算期末资产
股票上涨
股票下跌
HuS 0-C u HdS 0-C d
根据对应价格计算
组合
期末资产
STEP 4计算H
思路：寻找适当的H，使得无论标的价格上涨还是下跌，投资者持有的组合
在期末价格都是相同的
HuS0-C u HdS0-C d
=
H=C u-C d (u-d)S0
期末收益
涨跌
STEP 5以无风险利率
r 计算期末收益
思路：由于组合实已锁定期末收益，股价不受市场风险影响，因此组合期末应获得无风险收益
期初投资
期末收益
HS 0-C 0(HS 0-C 0)(1+r)
=
HuS 0-C u HdS 0-C d
联立期末收益等式，可以计算出C 0
无论涨跌
等式均成立
涨跌
期末收益获得无风险收益
STEP 6
计算权利金C 0
1
C 0=
(u-d) (1+r)
联立等式可得：
2
由于到期时，期权时间价值为0，只剩下内在价值，则：
C u =max(uS 0-K,0)C d =max(dS 0-K,0)
(1+r-d) C u + (u-1-r) C d
现在市场上有个认购期权（行权价格100元）价格为7元，挂钩的标的证券现价100元，期末可以涨至110元
或跌至90元，那购买这个期权是否合算呢？
期权市场价格期权理论价格
7元
佳佳
其中，
股票现价S=100期权执行价格K=100
上升系数u=1.1 下降系数d=0.9
无风险利率r=5%
根据推导公式，可以计算得到期权理论价格
C 0 =(u-d) (1+r)
(1+r-d) C u + (u-1-r) C d
=
(1.1-0.9) (1+5%)
(1+5%-0.9) ×(1.1×100-100)+ (1.1-1-5%) ×0
= 7.15元
佳佳
还是详细来看一下推导过程吧！
C u =max(uS 0-K,0)C d =max(dS 0-K,0)
推导过程100
110
90
到期时期权价格
10
=max(110-100,0)
=max(90-100,0)
H=10-0
（1.1-0.9）×100
= 0.5
即购买0.5份股票，
卖出1份认购期权可
以构成无风险组合股票涨跌变化
组合构建
首先，构建无风险组合，计算H
组合期末收益=H ×S-C 上涨
下跌
=0.5×110-10=45=0.5×90-0=45
期末收益
45元
根据step 5可知,由期初投资计算出的期末收益与上值相等
(HS 0-C 0)(1+r)=45
(0.5×100-C 0)(1+5%)=45
期权价格为
7.15元
购买0.5份股票，卖出1份认购期权
无风险组合
以无风险利率计算
佳佳
然后，将期末收益的两个等式联立计算
期权市场价格期权理论价格7元7.15元
佳佳
计算后可以发现，期权价格实际被低估了，因
此应该果断买入期权，这个期权价格非常合算！
期权价格被低估
进阶定价解析进阶
u与d可以使用波动率来确定
标的证券波动率越大，
上升、下降系数越大
TIPS：
波动率一般参考标的证券的历史波动率，或者期权的隐含波动率进行设定
上述案例中股票价格仅发生两种变化，实际上股票价格千变万化，因此在定价过程中还需引入“波动率”概念。
无风险利率波动率
股票现价行权价格
时间期限将前述模型的时间段看成非常小的区间
极限+积分
推导得到经典的BS公式
综合考虑相关要素
BS模型被广泛应用于海外期权产品的定价，在期权市场数十年的发展过程中得到了检验，被证实为有效的。
参数
)
()(210d N Ke
d N S c rT
--=)
()(102d N S d N Ke
p rT
---=-()T
T
r K S d σσ）2/(/ln 201++=
T
d d σ-=12认购期权价格：认沽期权价格：
其中
C ：认购期权权利金P ：认沽期权权利金
S 0：标的资产现价K ：行权价格
T ：剩余期限r ：无风险利率
N(d 1)、N(d 2)：标准正态累积分布函数
公式
，
下期预告：“走进期权”系列（第9期）
——期权组合投资策略之二
未完待续……。