max z 15x1 25x2 15x3 30x4 10x5 40x7 10x9
产品计划问题 某厂生产I，II，III三种产品，都分别经A，B 两道工序加工。设A工序可分别在设备A1或A2上 完成， B工序可在B1，B2，B3三种设备上完成。 已知产品I可在A，B任何一种设备上加工；产品 II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序 时，只能在B1设备上加工，产品III只能在A2与 B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及 其他各项数据如表格所示，试安排最优生产计 划，使该厂获利最大。
max z [ Si yij C i xij C x ] H i ij
i 1 j 1 / i / ij i 1 j 1
5
6
5
5
连续投资问题
某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并 于次年末回收本利115%； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本 利125%，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本 利140%，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还， 并加利息6%。 该部门现有资金 10 万元，问它应如何确定给这些 项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的 本利总额为最大?
第6节
应 用 举 例
一般讲，一个经济、管理问题凡满足以下条件 时，才能建立线性规划的模型。 (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来表示， 且Z=f(x)为线性函数； (2) 存在着多种方案； (3) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的； 这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。
合理利用线材问题
解 设xij, xij/分别为该工厂第i种产品在 第j个月在正常时间和加班时间内的生产量； yij为第i种产品在第j月的销售量， ωij为第i种产品第j月末的库存量。
(1) 各种产品每月的生产量不能超过允许 的生产能力，表示为：
a x
i 1 5 i i 1
5
i
rj ,
j 1,,6 j 1,,6
/ / a x r i i i,
(2) 各种产品每月销售量不超过市场最大需求量
yij dij , (i 1,, 6, j 1,, 6)
(3) 每月末库存量等于上月末库存量加上该月产量 减掉当月的销售量
ij i , j 1 x ij x yij
/ ij
产品名称 A B D
规 格 要 求 单价（元/kg） 原材料 C 不少于 50% 50 原材料 P 不超过 25% 原材料 C 不少于 25% 35 原材料 P 不超过 50% 不限 25
原材料名称 每天最多供应量（kg） 单价/(元/kg) C 100 65 P 100 25 H 60 35
解 以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P 的成分，依次类推，根据原材料比例限制
0 0 0 0 100 100 x9 60
目标函数为产品收入减去原材料成本
产品收入为：50A+35B+25D，即 50(x1+x2+x3)——产品A 35(x4+x5+x6)——产品B 25(x7+x8+x9)——产品D 原材料成本为：65C+25P+35H ，即 65(x1+x4+x7)——原材料C 25(x2+x5+x8)——原材料P 35(x3+x6+x9)——原材料H 所以，目标函数为
设按Ⅰ方案下料的原材料根数为x1,Ⅱ方案为x2， Ⅲ方案为x3，Ⅳ方案为x4,Ⅴ方案为x5。可列出以 下数学模型：
m in z 0 x1 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x4 100 x1 2 x 2 2 x 3 2 x4 x5 100 3 x5 100 3 x1 x 2 2 x3 x1 , x 2 , x3 , x4 , x5 0
1 AC A, 2 1 1 1 AP A, BC B, BP B (1 39) 4 4 2
AC AP AH A, BC BP BH B (1 40)
将(1-40)逐个代入(1-39)并整理得到 1 1 1 AC AP AH 0 2 2 2 1 3 1 AC AP AH 0 4 4 4 3 1 1 BC BP BH 0 4 4 4 1 1 1 BC BP BH 0 2 4 2
设备 A1 A2 B1 B2 B3
产品 I 5 7 6 4 7 II 10 9 8 11 12 III
设备有效台时 设备加工费(元/h) 6000 10000 4000 7000 4000 0.05 0.03 0.06 0.11 0.05
原料费(元/件) 0.25 0.35 0.50 售 价(元/件) 1.25 2.00 2.80
(2) 投资额应等于手中拥有的资金额 由于项目D每年都可以投资，并且当年末即能回收 本息。所以该部门每年应把资金全部投出去，手 中不应当有剩余的呆滞资金。因此
第一年：该部门年初拥有100000元，所以有 x1A+x1D=100000 第二年：因第一年给项目A的投资要到第二年末才 能回收。所以该部门在第二年初拥有资金额仅为 项目 D 在第一年回收的本息 x1D(1+6%) 。于是第二 年的投资分配是 x2A+x2C+x2D=1.06x1D
根据原材料供应数量的限额
AC BC DC 100 AP BP DP 100 AH BH DH 60
9个变量分别用x1,…,x9表示，则约束条件可 表示为：
1 1 1 2 x1 2 x 2 2 x 3 1 x 3 x 1 x 4 1 4 2 4 3 3 1 1 x4 x5 x6 4 4 4 1 1 1 x4 x5 x6 2 2 2 x4 x7 x1 x2 x5 x8 x3 x6 x1 , , x9 0
8种方式使用的原料根数即为决策变量，按余料从 小到大给各变量编号，问题归结为如下线性规划
m in z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 或 m in z 0 x1 0.1 x2 0.2 x3 0.3 x4 0.8 x5 0.9 x6 1.1 x7 1.4 x8 x4 x6 100 (1) x1 2 x2 2 x 3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 ( 2) 3 x5 x6 4 x8 100 ( 3) 3 x1 x2 2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 0
工厂的盈利为产品售价减去相应的原料费和设备 加工费，产品加工量只受设备有效台时的限制。 LP模型为
m axz (0.25 0.25)( x11 x12 x13 x14 x15 x16 ) ( 2.0 0.35) ( x 21 x 22 ) ( 2.80 0.50) x 3 0.05(5 x11 5 x12 5 x13 10x 21 ) 0.03(7 x14 7 x15 7 x16 9 x 22 12x 3 ) 0.06(6 x11 6 x14 8 x 21 8 x 22 ) 0.11(4 x12 4 x15 11x 3 ) 0.05(7 x13 7 x16 ) 5 x11 5 x12 5 x13 10x 21 6000 7 x14 7 x15 7 x16 9 x 22 12x 3 10000 6 x11 6 x14 8 x 21 8 x 22 4000 4 x12 4 x15 11x 3 7000 7 x13 7 x16 4000 x ij 0
若仅选取余料长小于0.9m的套裁方案
下料根数 长度(m) 2.9 2.1 1.5 合计长 余料长 变量编号 I II
方案 III IV V
1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8 x1 x2 x3 x4 x5
现要做100套钢架，每套需用长为2.9m，2.1m和1.5m的元 钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原 材料最省。 解：所有合理的下料方式列举如下
下料根数 长度(m) 2.9 2.1 1.5 合计长 余料长 变量编号 1 2 3
方案 4 5 6 7 8
2 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 0 3 2 1 0 1 0 1 3 0 2 3 4 7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4 x2 x4 x6 x1 x7 x3 x5 x8
解： (1) 确定决策变量,以xiA,xiB,xiC,xiD (i=1,2,…，5)分别表示第i年年初给项目A，B，C， D的投资额
项目 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 A x1A x2A x3A x4A / B / / x3B / / C / x2C / / / D x1D x2D x3D x4D x5D
i 1, ,5; j 1, ,6 其 中 i 0 0, i 6 k i
(4) 满足各变量的非负约束
xij 0, x 0, yij 0, ij 0,
/ ij
( i 1 ,, 5, j 1 ,, 6)
(5) 该工厂上半年总盈利最大可表示为：
最优下料方案：按Ⅰ方案下料30根，Ⅱ方案下料 10根，Ⅳ方案下料50根， 需90根原材料可以制造100套钢架。 其他最优方案：Ⅱ方案下料40根，III方案下料30 根，按IV方案下料20根， 需90根原材料可以制材料C、P、H混合调配出三种不 同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产 品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价， 分别见表格。该厂应如何安排生产，使利润收入 为最大?