密封线线性规划的实际应用摘要线性规划模型是科学与工程领域广泛应用的数学模型。

本文应用线性规划模型，以某水库输水管的选择为研究对象，以实现输水管的选择既能保证供水，又能使造价最低为目标，根据水库的特点和实际运行情况，分析了其输水管选择过程中线性规划模型的建立方法，并分别通过单纯形法和MATLAB软件进行求解。

关键词线性规划模型单纯形法 MATLAB一、专著背景简介《最优化方法》介绍最优化模型的理论与计算方法，其中理论包括对偶理论、非线性规划的最优性理论、非线性半定规划的最优性理论、非线性二阶锥优化的最优性理论；计算方法包括无约束优化的线搜索方法、线性规划的单纯形方法和内点方法、非线性规划的序列二次规划方法、非线性规划的增广Lagrange方法、非线性半定规划的增广Lagrange方法、非线性二阶锥优化的增广Lagrange方法以及整数规划的Lagrange松弛方法。

《最优化方法》注重知识的准确性、系统性和算法论述的完整性，是学习最优化方法的一本入门书。

最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。

最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。

实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。

本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。

主要是线性规划问题的模型、求解（线性规划问题的单纯形解法）及其应用-运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用-资源分配问题。

二、专著的主要结构内容《最优化方法》是一本着重实际应用又有一定理论深度的最优化方法教材，内容包括线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、非线性规划（无约束最优化与约束最优化）、动态规划等最基本、应用最广又最有代表性的最优化方法。

各章都由实例引入，对主要定理进行证明，引入相应的数学模型与算法，配有算法例题与详细步骤.章末附有习题，书末有习题解答与提示。

《最优化方法》还专辟一章，列举了用新版本的MATLAB软件包及LINDO/LINGO优化软件包来计算的实例。

本教材在阐述基本概念与基本理论时，力求清晰、透彻，在适当地方配置了一些思考题，以促使读者深入思考，加深对内容的理解.在文字叙述方面力求语言浅显、简易明了、深入浅出，以便于学生学习。

内容概况如下：第1章线性规划主要内容包括： 1.1线性规划问题的基本概念；1.2单纯形法；1.3 线性规划的对偶理论；1.4 运输问题；1.5 线性目标规划；1.6 线性规划应用实例。

第2章整数规划主要内容包括：2.1 整数规划问题的数学模型；2.2 分枝定界法；2.3 割平面法；2.4 0.1型整数规划；2.5 指派问题与匈牙利解法。

第3章非线性规划的基本概念与基本原理主要内容包括：3.1 非线性规划的数学模型；3.2 无约束问题的最优性条件；3.3 凸函数与凸规划；3.4 解非线性规划的基本思路；3.5 一维搜索。

第4章无约束问题的最优化方法主要内容包括：4.1 变量轮换法；4.2 最速下降法；4.3 牛顿法；4.4 共轭梯度法；4.5 变尺度法简介。

第5章约束问题的最优化方法主要内容包括：5.1 约束极值问题的最优性条件；5.2 可行方向法；5.3 近似规划法；5.4 制约函数法；5.5 二次规划。

第6章动态规划主要内容包括：6.1 动态规划问题实例；6.2 动态规划的基本概念；6.3 最优性定理与基本方程；6.4 动态规划的应用举例。

第7章用优化软件计算实例主要内容包括：7.1 用MATLAB 7.0优化工具箱计算实例；7.2 用LINDO/LINGO软件计算实例。

三、重点分析与心得体会《最优化方法》[1]这本书，着重实际应用又有一定理论深度的最优化方法教材，内容包括：线性规划[1-5]、运输问题[1-5]、整数规划[1-5]、目标规划[1-5]、非线性规划[1-5]（无约束最优化与有约束最优化），动态规划[1-5]等最基本、应用最广最有代表性的最优化方法。

本人在此着重分析一下线性规划应用的相关问题。

线性规划，是自1947年丹齐格提出了求解线性规划一般放法-单纯性法以来，线性规划在理论上趋向成熟，日臻完善。

线性规划辅助人们进行科学管理，是国际应用数学经济管理计算机科学界所关注的重要研究领域。

线性规划主要研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源进行最佳地调配和最有利地使用，以便于最充分发挥资源的效能来获取最佳的经济效益。

线性规划运用数学语言描述某些经济活动的过程，形成数学模型，以一定的算法对模型进行计算，为制定最优计划方案提供依据。

其解决问题的关键是建立符合实际情况的数学模型，即线性规划模型。

在各种经济活动中，常采用线性规划模型进行科学定量分析，安排生产组织与计划，实现人力物力资源的最优配置，获得最佳的经济效益。

目前，线性规划模型被广泛应用于经济管理交通运输工农业生产等领域。

3.1线性规划的数学模型[6-9]线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。

这类问题的数学表达式称为线性规划模型。

线性规划模型的一般形式包括决策变量、约束条件和目标函数三部分。

决策变量都是非负的，其值代表待解决问题的一个具体方案，形式如下：12,, 0n x x x ⋅⋅⋅≥约束条件都是线性等式或线性不等式，它们反映了待解决问题对资源的客观限制及对所要完成的任务的各类要求，形式如下：()()()11112211211222221122, ,........,n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=><+++=><+++=><其中，ij a 为第i 个约束条件中对应第j 个变量的约束条件系数，i b 是第i 个约束条件的右边常数，它表示必须满足的某种要求。

目标函数是决策变量的线性函数，根据待解决问题的不同，可要求目标函数Z 实现最大值或最小值，形式如下：()1122n n max min Z c x c x c x =++⋅⋅⋅+其中，12,,n c c c ⋅⋅⋅，是目标函数系数或价值系数。

3.2、线性规划模型在某地区水库调节水池中的应用[10-11]（1）最优化问题的提出某地区水源取自某水库，水库涵洞底标高为45m ，水输送到调节水池距离为1470m ，调节水池最高水位35m (高10m ) , 该段距离中要求输水量174/L s ；另一段，从调节水池输水到某水厂的距离为4780m ，调节水池低水位标高为30m ，水厂水池标高为17. 5m ，高差12. 5m ，要求输水量116/L s 可供铺设的输水管有四种不同直径，它们的单位长度造价和水头损失列于表中。

问应如何适当选择输水管进行铺设,既能保证供水，又能使造价最低。

表1 输水管道单位长度造价和水头损失（2）线性规划模型的建立对第一段水库到调节水池建立线性规划模型： ① 选取决策变量根据水库的需要，选取管径为600500400300、 、 、 的输水营的铺设长度作为决策变量，并且决策变量分别设为1 2 34 ,, , x x x x 。

② 确定目标函数水库的目标是既能保证供水，又能使造价最低，目标函数如下：1234min 100705436x x x x +++③ 确定约束条件约束条件是由水库的特点和输水管性能决定的，它反映了决策变量与水库参数之间必须遵循的关系。

如果在建立模型时忽略了重要的约束条件，则求得的解不可信；但如果过于细微，约束条件数目增加，计算时间也将增加；同时由于变量多，关系复杂，比较容易给出互为矛盾的约束条件，造成模型无解。

供水保证约束：1 2 34 1470x x x x +++=要求输水量为174/L s 时，该段总水头损失不超过10m ：12340. 873 2. 160 6. 706 31. 00010 1000x x x x +++≤⨯非负约束：1234,,,0x x x x ≥ 得到如下线性规划模型为：1234123412341234min 100 70 54 36. .0. 873 2. 160 6. 760 31. 00010 1000 1470 , , , 0x x x x s t x x x x x x x x x x x x ++++++≤⨯+++=≥ 同理可得到第二段水库到调节水池建立线性规划模型：123412341 2341234 110 70 54 36 ,. .0. 419 1. 030 3. 120 13. 80012500 4780 , , , 0min x x x x s t x x x x x x x x x x x x ++++++≤+++=≥ 3.3、线性规划问题的分析与求解[10-11]（1）单纯形法求解线性规划问题使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式所谓标准形式是指下列形式：1max nj j j z c x ==∑1(1,,)0(1,2,,)nij j i j ja xb i m s t x j n =⎧==⎪⋅⋅⎨⎪≥=⎩∑当实际模型非标准形式时，可以通过以下变换化为标准形式： ① 当目标函数为1min nj j j z c x ==∑时，可令Z Z '=-，而将其写成为:1min nj j j z c x ='=-∑求得最终解时，再求逆变换Z=-Z ′即可。

② 当s •t •中存在i n in i i b x a x a x a ≤+++ 2211形式的约束条件时，可引进变量：111221()n i i i in n n x b a x a x a x x ++=-+++⎧⎨≥⎩便写原条件成为：1122110i i in n n in a x a x a x x b x ++++++=⎧⎨≥⎩其中的1n x +称为松弛变量，其作用是化不等式约束为等式约束。

同理，若该约束不是用“≤”号连接，而是用“≥”连接，则可引进剩余变量：111221()0n i i in n in x a x a x a x b x ++=+++-⎧⎨≥⎩使原条件写成：11110i in n n in a x a x x b x ++++-=⎧⎨≥⎩ 在将线性规划模型化为标准形后，便可使用单纯形法求解。