再譬如解方程。通过因式分解将一元二次方程的 求解化归为解一元一次方程；通过降次将简单高次方 程的求解化归为较低次的方程；通过去分母将分式方 程的求解化归为解整式方程；通过去根号将无理方程 的求解化归为解有理方程；通过换元或其它途径将指 数方程、对数方程等超越方程的求解化归为解代数方 程。 数学家笛卡尔通过建立坐标系把几何问题化归为 代数方程问题，开创了用代数方法研究几何问题的新 纪元。由此创设的解析几何被称为由初等数学阶段向 变量数学发展的第一个决定性步骤。
• 3、化实际问题为特殊的数学问题
• 案例4：某旅行团队翻越一座山。上午9时上山，
每小时行 3千米，到达山顶时，休息1小时。下山
时，每小时行4千米，下午4时到达山底。全程共行 了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？ • 案例5：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了 11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香 蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱？
的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。
生疏的 问题
化归
熟悉的 问题
生疏的问题 得到解决
解决熟悉的问题
案例1：半径为1的圆内 任意放6个点，请你说
明，其中必有两个点，
它们的距离不大于1。
复杂的 问题
化归
简单的 问题
复杂的问题 得到解决
解决简单的问题
2、 数学中到处蕴涵着化归思想
譬如运算。小学数学中减法是化归成加法、除法 是化归成乘法而完成的；异分母分数的大小比较及加 减运算法则的基本思想，是借助通分将其化归为同分 母分数的大小比较及加减运算，进而化归为整数（分 子）的大小比较及加减运算。代数中，有理数的大小 比较与运算法则是借助绝对值将其化归为算术数的大 小比较与运算；整式的加减运算又是通过去括号、合 并同类项化归为有理数间的运算。 一般的说，总是将一种新的、陌生的运算化为 已掌握的、熟悉的运算。
化归法与递推法
化归思想及其应用
一、化归原则 “化归”一词，从字面上看是转化和归结的意思。 数学中的“化归原则”，就是指未解决的或待 解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决
的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种
方法原则。
例5-1 明明原有的图书是亮亮的6倍，如果两人 各再买2本，那么明明所有图书是亮亮的4倍。两人 原来各有图书多少本？ 2本 12-2=10（本） 6倍 明明 6-4=2倍 4 倍 2本 亮亮 1倍 将原题化归成一个简单的“差倍问题”：已知 两数的差为10，倍数差为2，求一倍数。
甲、乙两地水路的距离是：
通过对线段图的观察、分析，可以发现，顺水 只比逆水多航行了6千米。故，实际顺水航行只航 行了四分之三小时。 • 这不就是我们所熟悉的线段图吗？线段图， 就是把问题中抽象的、复杂的数量关系对应到具 体的、简单的线段上。小学生形象思维要强于抽 象思维，数量关系形象化，抽象问题具体化，对 于小学生来说，就是一种由复杂向简单的转化。
•
⑤ 水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨 是苹果的2倍。这三种水果一共销售了120千克。销售香蕉 多少千克？
• 练习
• 1、不能被6整除的三位数有多少个？
• 2、n是具有下列性质的最小正整数，它是
15的倍数，且每个数字都是0或8，试求n/15
的值。
• 递推法 • 例1、平面上的6条直线最多有几个交点？
例5-2 甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆，每 天从甲站开往乙站的汽车有21辆，从乙站开往甲站 的汽车有24辆。几天以后甲站的汽车是乙站的7倍？ 原问题可以分割成以下两道有连续性的简单应 用题： 1、甲乙两站共有汽车（192+48）辆，当甲站 的汽车是乙站汽车的7倍时，乙站有多少辆汽车？
( 192 48 ) ( 7 1 ) 30( 辆 )
• 4、化未知问题为已知问题 • 案例6：水果商店昨天销售的苹果比香 蕉的2倍多30千克，这两种水果一共销售了 180千克。销售香蕉多少千克？
•
• • •
① 水果商店昨天销售的苹果必香蕉的2倍少30千克，
这两种一共销售了180千克。销售苹果多少千克？
② 水果商店昨天销售的香蕉比苹果的多30千克，这 两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？ ③水果商店昨天销售的香蕉比苹果的少30千克，这两 种水果一共销售了120千克。销售苹果多少千克？ ④水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍。销售的梨 是香蕉的3倍。这三种水果一共销售了180千克。销售香蕉 多少千克？
2、乙站原有汽车48辆，每天从乙站开往甲站 的汽车有24辆，从甲站开往乙站的汽车有21辆， 几天以后乙站还有30辆汽车？
( 48 30 ) ( 24 21 ) 6( 天 )
一、化归原则 1、数学中的“化归原则”，就是指未解决的或待 解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决
的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种
直线的条数 交点最多的个 数 2 1 3 1+2 4 3+3 5 6上一个恰当的数
（1）1，2，6，24，（ ），720 （2）1，2，4，7，11，16，（ ）
• 例3、一个平面内有5条直线，这5条直线最多 能把这个平面分成几部分？
例4、圆周上两个点将圆周等分为两半，在这两
个点上写上1；然后将两段半圆弧分别等分，在
两个分点上写上相邻两个点上数的和；再把4段
圆弧等分，在分点上写相邻两点上数的和如此
继续下去，问第六步后，圆周上所有点上的数 之和是多少？
二、化归原则的一般模式为： 数学问题 化归 能够解决的，较为 简单的问题（*）
？
解 答 解 答 问 题（*）
特点：具有较强的目的性、方向性和概括性。 基本原则：由未知到已知、由难到易、由繁到简。 核心：如何实现由所要解决的问题向已经解决 的或 较容易解决的问题转化。
三、常用的化归法 1、 分割与叠加法 如隧道面积的计算方法：
方法原则。
（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数
学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到
解决问题的方法
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉 的问题 （3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单 的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都 不会解决，但解决的过程可能比较复杂。 （4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体
２、 换元法 ３、 待定系数元法
• 1、化抽象问题为直观问题
• 案例1：
1 1 1 1 2 4 8
案例： 一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要2小时， 去时顺水，比返回来每小时多航行8千米，且第二小时比第 一小时少航行6千米，求甲、乙两地水路的距离？ 顺水
甲
3千米
乙
顺航：
前一小时里逆航： 逆行速度为每小时：
一般的,将原问题分成若干部分,以便“化整 为零”，分散处理；然后再“集零为整”，使原 问题获得解决。
例1、勾股定理的证明。
c
b a
2
图中面积为c2的正方形被 分割成四个全等的直角三角形 及中间一个小正方形，据他们 的面积关系可得：
1 2 2 2 c 4( ab ) ( b a ) a b 2
例：笼中有若干只鸡与兔，他们共有５０个头 和１４０只脚，问鸡兔各有多少只？ 设想出一种奇特的现象，笼中鸡兔突然“全体肃 立”，每只鸡呈金鸡独立状，每只兔呈玉兔拜月状， 这时脚只剩下７０只，头仍是５０个，而鸡的头数与 脚数相等，每只兔的脚数比头数多１。
因此，脚的总数７０与头数５０的差２０就是兔 子的数目，而鸡有３０只。 注：这个解法简捷而巧妙。它是用可变的观点而 不是静止的观点看问题，对问题已知的数量进行了特 殊的分割——各取一半，使化归所得新问题中已知与 未知间的联系更明显。
•
在小学数学解题中，一般都是把问题中的数 量关系映射到图形上，然后，通过对图形的观察、 分析获得问题的解决。
• 2、化繁为简的策略
• 案例2：把186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才 能使拆分的两个自然数乘积最大？187呢？
• 案例３：你能快速口算 85×85=，95×95=， 105×105=吗？