由递推公式求通项公式的方法
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。
一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)
此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有
21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-
将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=++
+-，进而求解。
例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求
解：依题意有
213211,3,
,23n n a a a a a a n --=-=-=- 逐项累加有221(123)(1)1323(1)212
n n n a a n n n n +---=++
+-==-=-+，从而223n a n n =-+。
注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.
变式练习：已知{}n a 满足11=a ,)
1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式。
二、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()n n
a f n a +=，从而就有 3212
1(1),(2),,(1)n n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成1
(1)(2)(1)n a f f f n a =⋅⋅⋅-，进而求解。
例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)321
n n n a a a n n --==⋅≥+，求数列{}n a 的通项公式。
解：当2n ≥时，324123113523,,,,,57921n n a a a a n a a a a n --====+将这1n -个式子累乘，得到113(21)(21)n a a n n ⨯=-+，从而21311(21)(21)341
n a n n n ⨯=⨯=-+-，当1n =时，1211413a n ==-，所以2141
n a n =-。
注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.
变式练习：在数列{}n a 中, n a >0,221112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .
提示：依题意分解因式可得11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+=，而n a >0,所以1(1)0n n n a na ++-=，即11
n n a n a n +=+。
三、q pa a n n +=+1型数列
此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设)(1m a p m a n n +=++，展开整理1n n a pa pm m +=+-，比较系数有pm m b -=，所以1b m p =-，所以1n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11
b a p +-。
二是用作差法直接构造，1n n a pa q +=+, 1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。
例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。
解法1：设13()n n a m a m -+=+，即有132n n a a m -=+
对比132n n a a -=+，得1m =，于是得113(1)n n a a -+=+，即31
11=++-n n a a 所以数列{1}n a +是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列
则1231n n a -=⋅-。
解法2：由已知递推式，得1132,32,(2)n n n n a a a a n +-=+=+≥，
上述两式相减，得113()n n n n a a a a +--=-，即31
1=---+n n n n a a a a 因此，数列1{}n n a a +-是以214a a -=为首项，以3为公比的等比数列。
所以1143n n n a a -+-=⋅，即13243n n n a a -+-=⋅，
所以1231n n a -=⋅-。
变式练习：已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.
注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.
四、()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数） 此类数列可变形为()111++++=n n n n n p n f p a p a ，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n p a 可用累加法求出，由此求得n a . 例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .
解:将已知递推式两边同除以12n +得1131222n n n n a a ++=⨯+,设2n n n
a b =,故有132(2)2
n n b b ++=⨯+，15322n n n b -⨯=-,从而11532n n n a -+=⨯-. 注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.
若()f n 为n 的一次函数,则n a 加上关于n 的一次函数构成一个等比数列; 若()f n 为n 的二次函数, 则n a 加上关于n 的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.
例5．已知数列{}n a 满足1111,2,21,.2
n n n a n a a n a -=≥=+-当时求 解:作n n b a An B =++,则n n a b An B =--,11(1)n n a b A n B --=---代入已知递推式中得:11111(2)(1)2222
n n b b A n A B -=++++-. 令1202111022
A A
B ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩46A B =-⎧⇒⎨=⎩ 这时112
n n b b -=
且46n n b a n =-+ 显然,132n n b -=,所以13462n n a n -=+-. 注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.
变式练习：（1）已知{}n a 满足11122,2+++==n n n a a a ，求n a 。
（2）已知数列{}n a ，n S 表示其前n 项和，若满足231n n S a n n +=+-，求数列
{}n a 的通项公式。
提示：（2）中利用111,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，把已知条件转化成递推式。
五、C
Ba Aa a n n n +=型数列（C B A ,,为非零常数） 这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1n n a pa q +=+型数列。
例6．已知数列{}n a 满足1122,2
n n n a a a a +==+,求n a . 解:两边取倒数得:11112n n a a +=+,所以1111(1)22n n n a a =+-⨯=，故有2n a n
=。
变式练习：数列{}n a 中，11112,22n n n n n
a a a a +++⋅==+，求{}n a 的通项。
六、n n n qa pa a +=++12型数列（,p q 为常数）
这种类型的做法是用待定糸数法设()n n n n a a a a λχλ-=--=+112构造等比数列。
例7．数列{}n a 中，,3,221==a a 且()2,211≥∈+=++-n N n a a a n n n ，求n a .。