Abstract: Study was made to the chaos phenomenon in nonlinear circuits with theoretical analysis and simulation respectively. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, in which many kinds of chaos phenomenonena generated as long as one component parameter was altered. On the platform of Matlab the related system and mathematical model for Chua’s circuit were programmed and simulated to realize the synchronization of dual and single cochlear volume. The study results show that under the same chaos behavior, simulation experiment is quite in conformity to theoretical analysis conclusion, by which behavior characteristics of chaos attractor is able to be observed correctly.
(5)
Q3= (-k，0，k)∈D-1
调节R ，可改变平衡点的位置及平衡点处系统
的特征值。当电路的平衡点是满足一定条件的鞍焦
平衡点时，系统有可能产生混沌。
式(5)中：k =(b -a )/(b +1)，a 与b 不为-1。由式 (5)可将状态空间R 3分为3个子空间D 1、D 0、D -1。在 每一个子空间内，方程(4)均是线性的，其Jacobi
1
2
3
x
图8 x变量与y变量的仿真图
z
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3 -2 -1
0
1
2
3
x
图9 x变量与z变量的仿真图
混沌系统的数学模型通过软件 M a t l a b 来实 现仿真。实验表明 ：在相同的混沌行为预期下， 仿真实验与真实实验的参数范围可能会有一些差 别，但是，就总体而言，仿真实验与真实实验有 较好的对等性，而且仿真实验更容易实现预期的 混沌行为，更能准确地观测到混沌吸引子的行为 特征。
-
1 R4
1 R6
a)R N1电路及其伏安特性
b)R N2电路及其伏安特性
图2 两个非线性电阻及其伏安特性
适当选取电阻参数值使E 2远大于E 1，也远大于 蔡氏电路工作时 uC1 的变化范围，则在电路的工作 范围内，R N2是一个线性负电阻，R N1和R N2并联后可
实现图1中非线性电阻R N的伏安特性，其中：
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电工电气 (2009 No.4)
点附近出现极限环时，即发生了Hopf分岔，此时电
路参数α、β、m 满足条件：
1+α(m+1) 1 αβ(1+m) β+αm
=0
(8)
2 蔡氏电路的Matlab仿真
以下是蔡氏电路平衡点出的仿真，设置的初值 为x [y (1)]=0.1，y [y (2)]=0.1，z [y (3)]=0.1；其 中x ，y ，z 为上述式(2)变量代换所表示的值。
1 蔡氏电路的稳定性分析
蔡氏电路是一个典型的混沌电路，现今所报道
的混沌电路中有相当一部分是在该电路基础上改进
而成的。它是以著名华裔科学家、美国加州大学教
授蔡少堂的姓命名。该电路是一个三阶自治互易电
路，其电路及非线性电阻伏安特性如图1所示。
iL
R
a
i1
i1
L
+ U-C2
C2
+ U-C1
C1 RN g (uC1)
由图1可推出电路的状态方程为：
C
1
duC dt
1
=
1 R
(uC
-u
2
C
)-g
1
(u
C
)
1
C
2
duC dt
2
=
1 R
(uC
-u
1
C
2)+iL
(1)
L
diL dt
= -uC2
其中函数g
(u
C
)是分段线性函数，其形式为：
1
g (uC
)=
1
G
bu
C
+
1
1 2
(G
a-G
b)×(
u
C
+E
1
-
u
C
-E
1
)。
蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管，
实验还表明 ：在仿真实验过程中能精确控制 系统的参数。与此相反，在真实实验中，系统的 一些参数存在不可精确控制和漂移等特性，由此 产生的随机性和混沌现象混合在一起，影响了对 混沌本质的研究。仿真实验可以有效地避免这一 问 题， 在 混 沌 控 制 和 混 沌 同 步 等 应 用 研 究 领 域， 可对系统的稳定性和鲁棒性等问题进行较为准确 的量化分析 [2]。
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蔡氏电路的仿真研究
蔡氏电路的仿真研究
叶昕，张茂青，周纯 (苏州大学 机电工程学院，江苏 苏州 215021)
摘 要 ： 从理论分析和仿真两个角度分别研究非线性电路中的混沌现象。蔡氏电路是一个典型的混 沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。在 Matlab 的平台上编制相关系统 和蔡氏电路数学模型的计算机仿真程序，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步。研究结果表明在相同 的混沌行为下，仿真实验与理论分析结论十分吻合，能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。
足时：
1+α(m+1) 1 αβ(1+m) β+αm
＞0
(7)
在式(5)表示的三个区域中，M 的特征值都具有
负的实部，此时，平衡点渐进稳定，电路不发生振
荡。如果保证ab＜0，Q 1、Q 3存在且位于对应的D 1∪ D- 1中，当a 、b 其中一个参数发生变化，平衡点的性 质就会改变。当平衡点由稳定变成不稳定且在平衡
可采用多种方式实现。一种较简单的实现，它相当
于两个非线性电阻 RN1 和 RN2 的并联，图 2 给出 RN1 和 RN2 电路及其伏安特性。
a + i1 u
b-
R3
V+ + - A1
V-
R1
R2
a + i2 u
b-
R6
V+ + - A2
V-
R4
R5
i1
E1
-E1
u
-
1 R1
1 R3
i2
E2
-E2
u
载线
i
1-uC
/R
1
分别用实线和虚线表示。
i1 R
Q1
i1
+
g (uC1) i1-uC1/R
Q2
uC1 - RN
U
Q3
uC1
i1=g(uC1)
图3 求平衡点等效电路及其图解法
当电阻R 满足一定条件时，电路有Q 1、Q 2、Q 3这 3个平衡点。平衡点分别为：
Q1= (k，0，-k)∈D1
Q2= (0，0，0)∈D0
矩阵为：
-α(m+1) α 0
M=
1 -1 1
(6)
0 -β 0
M 的特征方程为：
f(λ)=λE-M =λ3+[1+α(m+1)]λ2+(β+αm)λ+βα(m+1)。
式中：m =α， x ∈D 0；m = b ， x ∈D 1∪D-1，E 为 单位矩阵。
根据Routh-Hurwitz Crierion判据，当下式满
U
Gb
Ga E
-E 0
uC1
b
Gb
a)蔡氏电路
b)非线性电阻伏安特性
图1 蔡氏电路及其非线性电阻伏安特性
作者简介：叶昕(1984- )，女，硕士研究生，研究方向为控制理论与控制工程； 张茂青(1954- )，男，教授，硕士，研究方向为控制理论与控制工程。
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E = E 1=[R 1/(R 1+R 2)]u
Ga= -1/R 1-1/R 4 G b= 1/R 3-1/R 4
(2)
G= 1/R
作变量代换：
x = uEC 1 ，y
=
uC E
2
，z
=
iL EG
τ=
tG G2
，a =
Ga G
，b =
Gb G
(3)
α = CC 21 ， β = LCG2 2
图6 y变量与时间t的仿真图
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z
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 t /s
图7 z变量与时间t的仿真图
y
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.8
-3 -2 -1 0
蔡氏电路的仿真程序如下： function dy=chua(t,y) dy=zeros(3,1)； alfa=10.0； beta=14.87； a=-1.27； b=-0.65； bp=1.0； dy(1)=alfa*(y(2)-y(1)-(b*y(1)+0.5*(ab)*(abs(y(1)+bp)-abs(y(1)-bp))))； dy(2)=y(1)-y(2)+y(3)； dy(3)=-beta*y(2)； clear all； [T,Y]=ode45('chua',[0,400],[0.1,0.1,0.1])； figure;plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-')； xlabel('X')； ylabel('Y')； zlabel('Z')； title('Chua system ')； figure;plot(T,Y(:,1),'-')； xlabel('T')； ylabel('X')； title('Chua system ')； figure;plot(T,Y(:,2),'-')； xlabel('T')； ylabel('Y')； title('Chua system ')； figure;plot(T,Y(:,3),'-')； xlabel('T')； ylabel('Z')； title('Chua system ')； figure;plot(Y(:,1),Y(:,2),'-')；