蔡氏电路仿真分析
学院：电气工程学院
班级：硕6036
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目录
1.基本分析 (2)
2.MATLAB仿真 (5)
蔡氏电路
蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和及其丰富的混沌动力学行为。

1.基本分析
蔡氏电路是一个典型的混沌电路，最早由著名华裔科学家、美国加州大学蔡少堂教授设计。

他证明了在满足以下条件时能够产生混沌现象。

(1) 非线性元件不少于1 个；
(2) 线性有效电阻不少于1 个；
(3) 储能元件不少于3 个。

根据以上条件，在图1.1中给出蔡氏电路方框图。

图中R 为线性有效电阻，L 、C 1、C 2为储能元件，R N 为非线性元件。

图2.2给出非线性电阻伏安特性曲线。

图1.1 蔡氏电路方框图
图1.2 非线性电阻伏安特性曲线
对于图2.1提出的蔡氏电路，其状态方程推导如下
12112122121()()1()(1)C C C C C C C L L C du C u u g u dt R du C u u i dt R di L u dt ⎧=--⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩
其中函数1()C g u 是分段线性函数，其形式为：
11111()()()2
C b C a b C C g u G u G G u E u E =+-⨯+-- 作变量代换：
12
22
221,,,,1
C C L
u u i x y z E E EG
C C tG C C LG G R ταβ===
==== 式（1）可以写为如下形式
[]
()(2)dx y x f x d dy x y z
d dz y d αττ
βτ⎧=--⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=-⎪⎩
式（2）即是蔡氏电路的标准方程形式。

其中()f x 可表示为如下形式
10101
01(),1(),1(),1m x m m x f x m x x m x m m x +-≥⎧⎪=≤⎨⎪--≤-⎩
其中
01,a b m G E m G E ==
蔡氏电路的三个状态方程式在状态空间的三个子空间为
101={(,,)| 1}
={(,,)| 1}={(,,)| 1}
D x y z x D x y z x D x y z x -≥≤≤-
在状态空间的三个子空间内分别具有唯一平衡点如下
1011(,0,),
(0,0,0),
(,0,).P k k D Q D P k k D +--=-∈=∈=-∈
其中，
1011
m m k m -=+ 在P +、1P -和Q 处的雅可比矩阵分别为：
1(1)011100P P m J J ααβ+--+⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，0(1)011100Q m J ααβ-+⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
取10α=，15β=，0 1.2m =-，10.6m =-，则在P +、1P -处的特征值为
一个实数值和一对共轭复数值。

其中的一个实数值为
-5.3938P λ=
而一对共轭复数值为
j 0.1969 j 3.3294P P σω+=±
可见0P λ<，而0P σ>。

在Q 处的特征值也为一个实数值和一对共轭复数值。

其中的一个实数值为
3.1201P λ=
而一对共轭复数值为
j -1.0601 j2.9140P P σω+=±
可见0P λ>，而0P σ<。

因此，所有的平衡点P +、1P -和Q 均为鞍焦点。

2.MATLAB 仿真
在对蔡氏电路进行建模过程中，要用到加法器、积分器、增益模块、常数模块等单元，这些可以方便地从 Simulink 标准库模块中直接提取。

除此之外，还需用到显示 x 和 y 信号相图的平面图形显示器（XY Graph ）模块和示波器模块；最后，把模型顺序连接起来，得到用基本模块元素建立的数学仿真模型，如下图所示。

取0.1,0.1,0.1x y z ===为初值，作为系统的初始值,在t=[0,300]的时
间范围内求解系统的运动轨迹，其投影相图及时域波形如下:
图2.1 x-y-z 立体相图
图2.2 x时域波形图 2.3 y时域波形
图 2.4 z时域波形图图 2.7 x-y平面相图
图 2.6 y-z平面相图
图 2.5 x-z平面相图
从仿真结果图可以，蔡氏电路的正规化状态方程描述了一个连续时间系统，这个系统在所给参数和初值的条件下可以产生双涡卷吸引子的混沌现象。

改变参数和初值，还可以产生其它很多有趣的混沌现象。

利用系统平衡点处的线性化矩阵，可以定性分析系统的动力学行为，以便寻找能使系统产生混沌的参数。