正切公式
tan( A B) tan(a b)
tan(
A
2
B)

tan(a
2
b)
2
2
四、解算球面三角形的纳白尔规则
设球面三角形中有一角为直角，则该角余弦为0，正弦为1， 代入前述公式可得球面直角三角形的计算公式
便于公式记忆的纳白尔规则： 将除直角（C）外的五个元素 标成一环形：与直角C 相邻的 两元素（a,b）照写，与直角相 对的三元素分别以90度减之， 则环形上任一元素的正弦等于 （1）相邻两元素正切之积 （2）相对两元素余弦之积
4.纳白尔规则
一、球面三角形 定义:是指球面上三个大圆弧所构成的闭合图形 球面三角形的边:a、b、c三个大圆弧叫球面三角 形的边,其值与所对应的球心三面角的面角同度 ,即:
a BOC b AOC c AOB
球面三角形的角: A、B、C是各大圆 弧组成的球面角叫球面三角形的角， 其值与球心三面角的二面角同度
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
边余弦公式
b c
O
C
B a
cosa cosb cosc sin b sin c cos A cosb cosc cosa sin c sin a cosB cosc cosa cosb sin a sin b cosC

B旧


B


N
新


N
新

N旧
N

•考虑大地坐标与空间直角坐标关系
X (N H ) cos B cos L
Y


( N

H ) cos B sin L

Z [N (1 e2 ) H ]sin B
•第二五元素定理
sin Acosb cosB sin C sin B cosC cosa sosB cosa sin B cosa cos Asin C sin AcosC cosb sin B cosc cosC sin A sin C cos Acosb sin C cosa cos Asin B sin AcosB cosc sin C cosb cosB sin A sin B cos Acosc
B



(

L)
cos

即：垂线偏差公式为
B L sec
R z
1
u
2.拉普拉斯方程 A ( L) sin ( sin A cos A) cot z T A ( L)sin A tan
角余弦公式
cos A cosB cosC sin B sin C cosa cosB cosC cos A sin C sin Acosb cosC cos AcosB sin Asin B cosc
正余弦公式
•第一五元素定理
sin a cosB cosb sin c sin b cosc cos A sin a cosC cosc sin b sin c cosb cos A sin b cos A cosa sin c sin a cosc cosB sin b cosC cosc sin a sin c cosa cosB sin c cos A cosa sin b sin a cosb cosC sin c cosB cosb sin a sin b cosa cosC
第五章 参考椭球与大地坐标系
补充知识： 第一部分 球面三角学的基本知识（ Foundation of Spherical Trigonometry ） 基本内容 1.球面三角形 Spherical Triangular 2.球面角超 Spherical Excess
3. 球面三角公式 Formulae of Spherical Trigonometry
R z 1
u
3.天文天顶大地天顶关系式（垂直角变换）
z z cos A sin A
4.大地弧度方程的导出简介
•新旧大地坐标关系关系
新 （ 新）cosB （ 旧）cosB L cos旧
新



B新



•经微分及变换后得
dL dX
dB dH
提示：90-c的相邻两元素为90-A，90-B; 90-c的相对两元素为a，b;
cosc cot AcotB
即：cosc cosa cosb
第二部分 垂线偏差与大地微分方程的导出简介
1.垂线偏差公式 在球面直角Δ Z1Z2P中按纳白尔规则，并考虑三角函数的幂级数 展开式，取第一项c：os( L) 1 sin( L) L sin 后，有：
余切公式
cos a cos C sin a cot b sin C cot B cos a cos B sin a cot c sin B cot C cos b cos A sin b cot c sin Acot C cos b cos C sin b cot a sin C cot A cos c cos B sin c cot a sin B cot A cos c cos B sin c cot b sin Acot B
A TAT B EBE C FCF
二、球面角超
定义：球面三角形三内角之和与平面三角形三内角之和的差 叫做球面角超 定义公式：
A B C 180
计算公式： S
R2
式中，S---球面三角形的面积，R---球的半径
三、球面三角公式
A
在球面三角形ABC中 正弦公式