第一讲正整数的表示及进位制一、基础知识：1．我们通常接触的整数都是“十进制”整数，十进制计数法就是用0，1，2…9十个数码，采用“逢十进一”的法则进行计数的方法。

例如1999就是一个一千，9个一百，9个十，9个1组成的，故1999这个数也可以表示为：1999=1×1000+9×100+9×10+9底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位上的数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)故1999=1×103+9×102+9×101+9×1003na记作：3na=10n-1+…+102a n-2+10其中最高位a1≠0，即，其它则是0≤a1，a．各位上的数字相同的正整数记法：999=1000－1104－1，∴999n个＝10n-1111n个＝1019n-，333n个＝103n555n个＝5(101)9n-解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据示0到9的整数这一性质进行讨论。

．二进制及其它进制二进制即计数法就是用0，1两个数码，采用“逢二进一”的法则进行计数的方法。

例如二进制中的111记为(111)2111=1×22+1×2+1=73na )2记作：3na=2n-1××a3+…+22×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，a2，位数(n为正整数3na )b记作：3na=b n-1××a3+…+b2×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，（一）十进制转二进制（整数部分）辗转相除直到结果为，将余数和最后的60/2 = 30 余 0 30/2 = 15 余 0 15/2 = 7 余 1 7/2 = 3 余 1 3/2 = 1 余 1所以十进制数60转为二进制数即为 (11100)2 （二）十进制小数转换为二进制小数 方法：乘2取整，顺次排列。

具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。

然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

例如：0.250.25*2 = 0.5 ------------整数部分：0 0.5*2 = 1.0 ------------整数部分：1所以十进制数0.25转为二进制数即为 0.01 所以十进制数 60.25 转为二进制数即为 (11100.01)2 二、典型问题：例1 证明：形如abcabc 的六位数总能被7、11、13整除。

证明：将已知的六位数写成十进制表达形式，得c b a c b a abcabc +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10101010102345)110()1010()1010(3425+⨯++⨯++⨯=c b a 100110010100100⨯+⨯+⨯=c b a )10100(1001c b a ++⨯= )10100(13117c b a ++⨯⨯= abcabc ∴总能被7，11，13整除。

【变式】试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。

并把它推广到n 位正整数，也有同样的结论。

证明：设一个四位数为103a +102b +10c +d ，根据题意得a+b+c+d =9k (k 为正整数)，∴d =9k －a －b －c ,代入原四位数，得 103a +102b +10c ＋9k －a －b －c ＝(103－1)a +(102-1)b +9c +9k =9(111a +11b +c +k) ∵111a +11b +c +k 是整数，∴四位数103a +102b +10c +d 能9被整除推广到n 位正整数：n 位正整数记作10n －1a 1+10n-2a 2+…+10a n-1+a n （1） ∵a 1+a 2+…+a n-1+a n =9k(k 是正整数) ∴a n =9k －a 1－a 2－…－a n-1 代入（1）得原数＝10n －1a 1+10n-2a 2+…+10a n-1+9k －a 1－a 2－…－a n-1 ＝（10n-1－1）a 1+（10n-2－1）a 2+…+9a n-1+9k ∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示-1999n 个，-2999n 个，…，9∴原数＝9（ -1111n 个a 1＋ -2111n 个a 2＋…＋a n +k ）∴这个n 位正整数必能被9整除【注】能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征 （1）能被2整除的数的特征是个位上是偶数，（2）能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）（3）能被5整除的数个位上的数为0或5， （4）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数, 则原数能被7整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

（5）能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12因此,491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

（6）能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

例如：判断1284322能不能被13整除。

128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。

（7）能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

例如：判断1675282能不能被17整除。

167528-2×5=16751816751-8×5=167111671-1×5=1666166-6×5=136到这里如果你仍然观察不出来，就继续……6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。

（8）能被19整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

例2．设n为正整数，计算999n个 ×999n个＋1999n个解：原数＝（10n –1）×（10n –1）+1×10n+10n－1111n 个1222n 个2这些数都是两个相邻的正整数的积＝333×3341 ×（ 1013n -＋1）111n 个1 222n 个2＝109n ＝ 103n -上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积4．已知：有一个三位数除以例5 已知abcd 是一个四位数，且999 =-dcba abcd ，问“”代表几？解：将abcd 及dcba 用十进制表示出来，并求差，得)1111010111(9d c b a dcba abcd --+=-。

可见，两数之差为9的倍数，从而999也应是9的倍数，故+9+9+9也是9的倍数，得“”代表9或0，由题意知0舍去，所以代表9。

例6．一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。

解：设原六位数1右边的五位数为x ，那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x ＋1， 根据题意，得 10x ＋1＝3（1×105＋x ） 7x=299999 x=428571210a a a ，这1210a a a +1321a a a -+111210k k k k a a a a a a -+--+．一个自然数的首位数字是4，将其首位数字移至末尾之后，它的大小降为原来的最小正整数。

解：设所求的数表示为4abc =410n A ⨯+，其中A=ab c (A 是一个4104ab c A =+由题意，得410n⨯+4(104)A + 39A=4(10n⨯-19996n -⨯个9143332n -⨯个3故13332n -个3必能被13整除，不难发现33332最小值是410256。

9．已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于解：设所求四位数是abcd ，由题意得 1995=++++abcd d c b a 。

19952111011001=+++∴d c b a 。

①此时必有a =1（请读者想一想为什么？）∴101b +11c +2d =994 ②此时必有b =9（请读者想一想为什么？）85211=+∴d c 。

③对于③式，若c =8或9，则左边都大于85；若c ≤6，则左边都小于85，所以只有c =7。

将c =7代入③，得 d =4。

故所求四位数是1974。

说明：解答整数问题，常常需要从首位或末位数字入手去进行分析，本例在确定a ，b ，c ，d 的值时，我们都是采用了首位数字分析法。

例11．试证明：当abc 是37的倍数时，bca 也是37的倍数。

证明：a c b bca c b a abc ++=++=10100,10100 ， a c b a bca 999)10100(10-++=∴ a abc 372710⨯-⨯=。

故当abc 是37的倍数时，bca 也一定是37的倍数。

例12．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc是什么。

如果N=3194，请你确定abc 。

解：由题意，得3194=++++cba cab bca bac acb 。

两边加上abc ，得 abc c b a +=++3194)(222， abc c b a ++⨯=++∴8614222)(222。