初中数学竞赛讲座之数论初步(一)
整数的整除性
定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a.
显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０.
性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则
①．若c|b ，b|a ，则c|a.
②．若b|a ，则bc|ac
③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb
④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c
证明：因为(a ，b)＝1
则存在两个整数s ，t ，使得
as ＋bt ＝1
∴ asc ＋btc ＝c
∵ b|ac ⇒ b|asc
∴ b|(asc ＋btc) ⇒ b|c
⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c
证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z)
又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z)
又(a ，b)＝1
∴ s ＝bt'(t'∈Z)
于是c ＝abt'
即ab|c
⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c
⑦．(a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n
)(n 为奇数)
整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a -
①.2|a 1⇔2|N ，
5|a 1⇔ 5|N
②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ⇔3|N
9|a 1＋a 2＋…＋a n ⇔9|N
③.4|a a
⇔ 4|N
25|a a
⇔ 25|N
④.8|a a a
⇔8|N
125|a a a ⇔125|N
⑤．7||41n n a a a -－a a a |⇔7|N
⑥．11||41n n a a a -－a
a a |⇔11|N
⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)]
⇔11|N
⑧．13||41n n a a a -－a a a |⇔13|N
推论：三个连续的整数的积能被６整除.
例题：
1.设一个五位数d a c b a ，其中d －b ＝3，试问a ，c 为何值时，这个五位数被11整除. 解：11|d a c b a
∴ 11|a ＋c ＋d －b －a
即11|c ＋3
∴ c ＝8
1≤a ≤9，且a ∈Z
2.设72|b 673a ，试求a ，b 的值.
解：72＝8×9，且(8，9)＝1
∴ 8|b 673
a ，且9|
b 673a ∴ 8|b 73 ⇒ b ＝6
且 9|a ＋6＋7＋3＋6
即9|22＋a
∴ a ＝5
3.设n 为自然数，A ＝3237n －632n －855n ＋235n
，
求证:1985|A.
证明：∵1985＝397×5
A＝(3237n－632n)－(855n－235n)
＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z)
＝5×521×u－5×124×v
∴5|A
又A＝(3237n－855n)－(623n－235n)
＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z)
＝397×6×s－397×t
∴ 397｜A
又∵(397,5)＝1
∴397×5｜A
即1985｜A
4.证明：没有x，y存在，使等式x2＋y2＝1995(x，y∈Z)成立.
证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立。

∵x2，y2被４除余数为０或１.
∴x2＋y2被４除余数为０，１或２.
又∵1995被４除余数为３.
∴得出矛盾，假设不成立.
故没有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立.
费马小定理：若p是素数，(m，p)＝1
则 p|m p－1－1
5.试证：999…9能被13整除.
12个
证明：∵10－1＝9,100－1＝99,…‚1012－1＝999…9.
12个
又（10,13）=1
∴13｜(1013－1－1),即13｜(1012－1)
∴13 ｜999…9.
12个
6.请确定最小的正整数A ，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍.
解：设该数为A ＝12n 1n n a a a a --，其中a 1＝6
令x ＝22n 1n n a a a a --
则A ＝6x ＝x ·10＋6
于是4A ＝x 6＝6×10n －1＋x
即有4×10x ＋24＝6×10n －1＋x
x ＝13
)410(21n -- ∵ (2，13)＝1，x 是整数
∴ 13|(10n －1－4)
n ＝1，2时，10
n －1－4＜10显然不满足条件 n ＝3时，10
n －1－4＝96 不满足条件 n ＝4时，10
n －1－4＝996 不满足条件 n ＝5时，10
n －1－4＝9996不满足条件 n ＝6时，10
n －1－4＝99996 满足条件 ∴ x ＝13
999962⨯＝15384 即A ＝153846
7.一个正整数，如果用７进制表示为abc ，如果用５进制表示为cba ，请用10进制表示这个数. 解：由题意知：0＜a,c ≤4,0≤b ≤4,设这个正整数为n,则
n ＝abc ＝a×72＋b×7＋c, n=cba =c×52
＋b×5＋a ∴49a ＋7b ＋c ＝25c ＋5b ＋a
48a ＋2b －24c ＝0
b ＝12(
c －2a)
∴12｜b,
又∵0≤b≤4
∴b＝0,
∴c＝2a
∴当a＝1,c＝2时，n＝51
当a＝2,c＝4时，n＝102
练习：
1.证明：设N＝19881988－19861986，则1987∣N
2.设n是自然数，求证n5－n可被30整除.
3.请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原数的2倍.
4.一个正整数，若用9进制表示为abc，若用7进制表示为cba，请用10进制表示此数.
5.五位数
67a
a4能被4整除，最末两位组成的数a7能被6整除，求此五位数.。