1. 广义逆(必考类型)
假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ,且A 可以满秩分解为A = BC ,A 的秩r(A) = r ,则B 为s x r 矩阵,C 为r x n 矩阵。
则G 可表示为: H
1
1
C (CC )(B B)B H H
H
G --=
例题:
步骤:显然,A 要分解为BC ,必须知道A 的秩,故先对A 进行行化简成最简式
,r(A)=2,故A 满秩分解为A=(3x2)
(2x4)=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ,B 由A 最简式中只有1的原列组成,C 由A 的最简式的非零首元行组成。
B = ,
C =
,H 11C (CC )(B B)B H H H
A --+=,通过计算即可
得到A 的广义逆。
(若B 、C 中有单位矩阵,那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵)
性质:
2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>=
比较重要的性质
(1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)]
(5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ,其中A=s x n ,B=n x t
步骤:
设r(B)=r ,B 的满秩分解为B=HK ,所以ABC=AHKC , r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r (性质(5))
AB=AHK ,故r(AB)<=r(AH),同理得r(BC)<=r(KC),(性质(4)) 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B),原式得证
知识点:
A . 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ,其中B=s x r ,C=r x n 。
该分解称为A 的
满秩分解。
3. nxn 2n n
2V {X |AX ,X C }n X ==∈,证明:12=V n C V ⊕
证明包含两部分,1)证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1
2V {0}V =
2)证明12V n C V ⊂⊕,12V n
C V ⊃⊕
步骤:
先证第一步,设1
2V V η∈ ,由已知可得,0,A A ηηη==,
因此0η=,故12V V +是直和,
很显然12V n C V ⊃⊕,两个子空间的和仍然属于该线性空间,因此主要证明
12V n C V ⊂⊕,只要能证明12,n C ηηηη∀∈=+分解,使得11V η∈,22V η∈即
可,
(A )A ηηηη=-+,可以证明,
2(A )A A ()A A 0A ηηηηηη-=-=-=用到已知条件,因此1(A )V ηη-∈,令2A X,AX=A A =A A X ηηηη=⋅==,因此2A V η∈,证明完毕。
4.
(1) 求F 在特定一组基下的矩阵,先搭好架子
111221
22111221{F (E ),F (E ),F (E ),F (E )}=(E ,E ,E ,E )B ,
B 就是所求矩阵,依次计算等式前面各项,
11F(E )=
11E =
=
,
12F(E )= ,21F(E )= ,22F(E )= ,故B=
(2) 易知11122122R(F)=span{F(E ),F(E ),F(E ),F(E )},又由(1)可知,
11F(E )=1121E +E ,12F(E )=1222E +E ,21F(E )=1121E +E ,22F(E )=1222E +E ,显然,1121E +E 与1222E +E 是线性无关的,因而R(F)的一组基为
,
,
要求()22{X|AX 0,X C }K F ⨯==∈ 的一组基, 设1
23
4x x X x x ⎛⎫=
⎪⎝⎭
, F(X)=AX=
1
234x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=13
241324x x x x x x x x ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
=
130x x +=
240x x +=,因此X=1212x x x x ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
=1x +2x
,1121E -E 与1222
E -E 是线性无关的,因而K(F)的一组基为 ,
,
(3) 为证明R(F)+K(F)是否是直和,只要看他们的基的并集是否线性无关即可,列出
1121E +E ,1222E +E ,1121E -E ,1222E -E 在基11122122(E ,E ,E ,E )下的坐标向量组成的矩
阵并作初等列变换可得
->
,显然该矩阵的秩为4,也就是说R(F)+K(F)的
基的并集是线性无关的,因为R(F)+K(F)是直和。
5.
(1) 先证明H()ξ是线性映射,
H()=()2,()2,2,k l k l k l k l k l αβαβαβωωαβαωωβωω
++-<+>=+-<>-<>=(2,)(2,)k k l l ααωωββωω-<>+-<>=kH α()
+l H β(),显然H()C n ξ⊂,故H()ξ是线性变换。
6.
7. 设A=
,(1)求变换矩阵P ,使1P AP J -=,其中J 是A 的Jordan 标准
形,(2)写出A 的Jordan 标准形J
计算特征多项式||I A λ-= λ
λ
λ
=
3
+1λ(),易知=-1λ是该特征多项式的三重根,令B A I =+,r(B)=2,A 的阶为3的主对角元为=-1λ的Jordan 块为1,可知,J=
,
再计算P ,设123(X ,X ,X )P =,由AP PJ =得,
1()X 0A I +=,21()X A I X +=,32()X A I X +=,
()X 0A I +=的通解为()2, 1, 1T X =,取 ()12, 1, 1T X =,再从非齐次方程组
1()Y A I X +=的解中任取一个作为2X ,显然可取2(1,0,0)T X =,另取一解
3(1/4,1/4,0)T
X =-,因此P=。
8. 已知A=
,求e A 。
(详细内容见下方“范数“)
令(x)e x
f =,先求A 的特征多项式
212-12
2322|I-A|=-13=(-1)
(1)(1)(-1)(1)1-11-1
-1
1+2
λλ
λλ
λλλλλλλλ++--=+--
因为r(A+I)=2,r(A-I)=2,因此A 的Jordan 标准形为
100=0-1100-1J ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
, 又因为()()2
A I A I -+=0由此可得A 的最小多项式为m(x)=2
(-1)(1)λλ+(另外一个求最
小多项式的办法: 看Jordan 标准形,11λ=的Jordan 块的最高阶数为1,故最小多项式里面的-λ(1)的次数为1,2-1λ=的Jordan 块的最高阶数为2,故最小多项式里面的λ(+1)的次数为2。
)
由于m(x)的最高次数为3,故设()2
g x ax bx c =++,又
''f ()g(),f ()g ()λλλλ== 因此,令()()()()''1111,f (1)g (1)f g f g -==-=--,
,分别代入原式即可求得11
13,,222e e e e a b c e -----=
== 因此()()11
213e x x 222
A
f A
g e A e e e e -----+=+==
F A 2A ,(2)矩阵函数,应该是二选一)
(1) 矩阵范数, 若ij sxn A a =(),
a. 则2
m F
A
A
=即对应于2-范数的矩阵范数,叫做Frobenius 范数,
2
1/21/21/22
,(|a |)(trA A)(trAA )H H ij m i j A
===∑
,
b. 则2
A
=(A A)H ρ是A A H 的特征值的模的最大值,
例题:
步骤:根据公式1/2(trM M)H F
M
=,因此先看M M H =
,故
,从而可得22F
M
a b =+;
另外,2
max(c,d)M ==,原因在于M 是对角矩阵。
(2) 矩阵函数(很难)。