过程设备设计题解1.压力容器导言习题1. 试应用无力矩理论的基本方程，求解圆柱壳中的应力（壳体承受气体内压p ，壳体中面半径为R ，壳体厚度为t ）。

若壳体材料由20R （MPa MPa s b 245,400==σσ）改为16MnR（MPa MPa s b 345,510==σσ）时，圆柱壳中的应力如何变化？为什么？解：○1求解圆柱壳中的应力 应力分量表示的微体和区域平衡方程式：δσσθφzp R R -=+21φσππφsin 220t r dr rp F k r z k=-=⎰圆筒壳体：R 1=∞，R 2=R ，p z =-p ，r k =R ，φ=π/2tpRpr tpR k 2sin 2===φδσσφθ○2壳体材料由20R 改为16MnR ，圆柱壳中的应力不变化。

因为无力矩理论是力学上的静定问题，其基本方程是平衡方程，而且仅通过求解平衡方程就能得到应力解，不受材料性能常数的影响，所以圆柱壳中的应力分布和大小不受材料变化的影响。

2. 对一标准椭圆形封头（如图所示）进行应力测试。

该封头中面处的长轴D=1000mm ，厚度t=10mm ，测得E 点（x=0）处的周向应力为50MPa 。

此时，压力表A 指示数为1MPa ，压力表B 的指示数为2MPa ，试问哪一个压力表已失灵，为什么？解：○1根据标准椭圆形封头的应力计算式计算E 的内压力： 标准椭圆形封头的长轴与短轴半径之比为2，即a/b=2，a=D/2=500mm 。

在x=0处的应力式为：MPa abt p btpa 15002501022222=⨯⨯⨯===θθσσ ○2从上面计算结果可见，容器内压力与压力表A 的一致，压力表B 已失灵。

3. 有一球罐（如图所示），其内径为20m （可视为中面直径），厚度为20mm 。

内贮有液氨，球罐上部尚有3m 的气态氨。

设气态氨的压力p=0.4MPa ，液氨密度为640kg/m 3，球罐沿平行圆A-A 支承，其对应中心角为120°，试确定该球壳中的薄膜应力。

解：○1球壳的气态氨部分壳体内应力分布： R 1=R 2=R ，p z =-pMPat pR tpRpr tpR k 100202100004.022sin 2=⨯⨯===⇒===+θφφθφσσφδσσσφ0h○2支承以上部分，任一φ角处的应力：R 1=R 2=R ，p z =-[p+ ρg R （cos φ0-cos φ）]，r=Rsin φ，dr=Rcos φd φ7.0cos 105110710sin 0220==-=φφ由区域平衡方程和拉普拉斯方程：()[]()()()()()()()()()()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+---+=--+=-=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=-+-+=-+-+=-+=-+=⎰⎰⎰033022002220003302200222203322022003330220223002cos cos 31sin sin 2cos sin sin 2sin cos cos cos cos cos cos 31sin sin 2cos sin sin 2sin sin 3cos cos sin 2sin sin cos cos cos 32sin sin cos sin cos 2cos 2cos cos 2sin 20φφφφφρφφφρφφσρφφσσσφφφφφρφφφφφφρφφφφρσφφρπφφφρπφφφρπφρπρφφπφσπφθφθφφφφg R p t R R tg R p R tg R p tRp g R p t R t g R t g R p R g R g R p R d g R rdr g R p rdrg R p t R zr r rr ()()()(){()()()(){}()(){}[]MPa g R p t R 042.12cos 1.2sin 2.22sin 50.343cos 2.151.0sin 22.2sin 50.343cos 2092851.0sin 221974.4sin 5007.0cos 3151.0sin 35.081.94060151.0sin 102.0sin 02.010cos cos 31sin sin 2cos sin sin 2sin 32232232233226203302200222-+=-⨯+-⨯≈-⨯+-⨯=⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⨯⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=φφφφφφφφφφφφφφφφφφρφφφσφ()()()()[]MPa g R p t R R tgR p 042.12cos 1.2sin 2.22sin 5cos 392.31974.221cos cos 31sin sin 2cos sin sin 2sin cos cos 322033022002220-+-⨯-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+---+=φφφφφφφφφρφφφρφφσθ ○3支承以下部分，任一φ角处的应力 (φ>120°) ： R 1=R 2=R ，p z =-[p+ ρg R （cos φ0-cos φ）]，r=Rsin φ，dr=Rcos φd φ()[]()()()[]()()()()[]()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+---+=--+=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+-+==--+-+-+=--+-+=--+-+=⎰⎰⎰R h h R t gg R p t R R tg R p R tg R p tRp R h h R t gg R p t R R h h R t gt g R t g R p R t R V h R h R g g R g R p R h R h R gd g R rdr g R p gh R h g R rdr g R p V z r r rr 34sin 6cos cos 31sin sin 2cos sin sin 2sin cos cos cos cos 34sin 6cos cos 31sin sin 2cos sin sin 2sin 34sin 6sin 3cos cos sin 2sin sin cos sin 2343cos cos 32sin sin cos 343sin cos 2cos 233134cos cos 2222033022002220022203302200222222203322022022303330220223230230000φρφφφφφρφφφρφφσρφφσσσφρφφφφφρφφφφρφφφρφφφφρσφσππρφφρπφφφρππρφφφρπφρπρπρπρφφπφθφθφφφφ()()()(){()()()(){}()(){}[]()()()()()()(){}()[][]MPa g R p t R R h h R t gR t g R p MPa R h h R t g g R p t R 14.8cos 1.2sin 2.22sin 5cos 31.392-221.97414.8cos 1.2sin 2.22sin 5cos 7.0392.31200sin 19.6566240.343cos 2.151.0sin 22.2sin 5cos 7.0392.31200cos cos 31sin sin 2cos sin sin 2sin 34sin 6cos cos 14.8cos 1.2sin 2.22sin 5 3.90.343cos 2.151.0sin 22.2sin 539313.2480.343cos 2092851.0sin 221974.4sin 500sin 196566247.0cos 3151.0sin 35.081.94060151.0sin 102.0sin 02.01034sin 6cos cos 31sin sin 2cos sin sin 2sin 3223222322033022002222220322322322233226222203302200222-⨯+⨯-⨯=-⨯+⨯--⨯+=--⨯+-⨯--⨯+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛----+=-⨯+⨯=+-⨯+-⨯≈+-⨯+-⨯=+⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⨯⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=φφφφφφφφφφφφφφφφφφρφφφφρρφφσφφφφφφφφφφφφφφφρφφφφφρφφφσθφ 4. 有一锥形底的圆筒形密闭容器，如图所示，试用无力矩理论求出锥形底壳中的最大薄膜应力σθ与σφ的值及相应位置。

已知圆筒形容器中面半径R ，厚度t ；锥形底的半锥角α，厚度t ，内装有密度为ρ的液体，液面高度为H ，液面上承受气体压力p c 。

解：圆锥壳体：R 1=∞，R 2=r/cos α（α半锥顶角），p z =-[p c +ρg(H+x)]，φ=π/2-α,αxtg R r -=()()()()()()ααρααραρρσασπρπρπφφcos 23cos 231cos 232222222222t xtg R g tg x xRtg R x g H p R rt gRr r R x g H p R t r g Rr r R x g H p R F c c c -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=++++==++++=xr()[]()()()[]{}()αρααρρασσσααρσρααασαραρασααρσσσθφθθθθθθφcos 2210cos 2210cos 1cos max2221t g tg p Htg R g g p H tg R H p 。

，。

x t gtg dx d g tg p Htg R tg x dx d ：tg g x H p xtg R g t dx d t xtg R g x H p t p R R c c c c c c z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∞<-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==++--=-++=-=+其值为的最大值在锥顶有最大值处在令 5. 试用圆柱壳有力矩理论，求解列管式换热器管子与管板连接边缘处（如图所示）管子的不连续应力表达式（管板刚度很大，管子两端是开口的，不承受轴向拉力）。

设管内压力为p ，管外压力为零，管子中面半径为r ，厚度为t 。