浙江省“七彩阳光”联盟2020届高三上期初联考数学考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高台体的体积公式其中R 表示球的半径柱体的体积公式 其中Sa,Sb 分别表示台体的上、下底面积 V ＝Sh h 表示台体的高 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、 已知集合A ＝｛－1，0，1，2｝，B ＝｛22x y x =-｝，则A ∩B ＝（ ）A 、｛－1， 1｝B 、｛0｝C 、｛－1，0，1｝D 、｛－1，0，1，2｝2、双曲线2213x y =－与2213y x =－有相同的（ ）A 、离心率B 、渐近线C 、实轴长D 、焦点3、设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为（ ）A 、6B 、5C 、72D 、0 4、某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：3cm ）是（ ）A 、6B 、2C 、3D 、15、若a ＋b ＞0，则（ ）6、“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件7、函数的图象大致为（ ）8、如图，四棱柱S ABCD -中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA 与直线AD 所成角为α，直线SA 与平面ABCD 所成角为β，二面角S AB C --的平面角为γ，则（ ）A 、αβγ>>B 、γαβ>>C 、αγβ>>D 、γβα>>9、设()xf x e bx c =++，若方程f （x ）＝x 无实根，则（ ）A 、b ＞1，c ＜1B 、b ＞1，c ＞－1C 、b ≤1，c ＜1D 、b ≤1，c ＞－1 10、已知数列{}n a 满足()()1211n n n n a a n +++-＝，前n 项和为n S ，且20191009m S +-＝，下列说法中错误的（ ）A 、m 为定值B 、1m a +为定值C 、20191S a -为定值D 、1ma 有最大值非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11、设()2lg xf x x =+，则()1f = ，()()25f f += ．12、已知两条平行直线l 1：a x ＋y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0的距离为d ，则a ＝ ，d = ． 13、已知正项等比数列{}n a 满足，则n a = ，数列{}2log n a 的前n 项和为 ．14、在ABC △中，a ＝3，b ＋c ＝12，B ＝120°，则b －c ＝ ，sin （B ＋C ）＝ ．15、已知F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点，若POF △为等边三角形，则C 的离心率为 ． 16、已知函数，若存在，使得，则正整数n 的最大值为 ．17、已知向量a ，b 满足｜a ｜＝4，()t t-∈R b a 的最小值为1，当()⋅-b a b 最大时，｜a －2b ｜＝ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18、（14分）已知函数()()2cos cos 3sin 1f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（2）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值及相应的x 的值．19、（15分）如图，ABCDEF 是由两个全等的菱形ABEF 和CDFE 组成的空间图形，AB ＝2， ∠BAF ＝∠ECD ＝60°．（1）求证：BD DC ⊥；（2）如果二面角B EF D --的平面角为60︒，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值．20、（15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且对一切n *∈Ν，有333212n n a a a S +++=．求证：（1）对一切n *∈Ν，有2112n n n a a S ++-=；（2）数列{}n a 是等差数列； （3）对一切n *∈Ν，22221231233n n a a a a ++++<．21、（15分）过抛物线()220x py p =>外一点P 作抛物线的两条切线，切点为M ，N ，F 为抛物线的焦点，证明：（1）｜PF ｜2＝｜MF ｜·｜NF ｜； （2）∠PMF ＝∠FPN ．22、（15分）已知函数()e x f x mx =-． （1）2m =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x >时，不等式()()2220x f x mx -++>恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考高三数学 参考答案1-5：CDBAB6-10：CACDA11.2，37 12.－1，22.13. 11511,()2162n n n a a --+===，前n 项和为(1)2n n --. 14.2，15、16. 4.17.解析：设OA =a ，OB =b ，由题意知||4OA =，B 点到直线OA 的距离为1，设OA 的中点为C ， 则()⋅-b a b =222()()4413OB OA OB BO BA BC CA BC ⋅-=-⋅=--=-≤-=， 当且仅当||1BC =时，等号成立，此时，|2-a b ||2|2||2OA OB BC =-==18.解析：（Ⅰ）()2cos (cos 3)1cos 232f x x x x x x =-=………………2分2sin(2)6x π=+，………………4分故函数()f x 的最小正周期为π，………………6分 函数()f x 的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈. ………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+，当[0,]2x π∈时，72[,]666x πππ+∈，………………10分 因此，当6x π=时，()f x 有最大值2；………………12分当2x π=时，()f x 有最小值1-.………………14分（直接求出最值及相应的x 的值也给满分）19.解析：（Ⅰ）如图，取EF 的中点G ，连接BG 、DG 在菱形ABEF 中，第19题图E FDCBAG∵60BAF ∠=，∴ BEF ∆是正三角形，∴ EF BG ⊥， ………………2分 同理在菱形CDEF ，可证EF DG ⊥， ………………4分 ∴ EF ⊥平面BDG ， ∴ EF BD ⊥………………6分 又∵ //CD EF ，∴ CD BD ⊥. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角， 即60BGD ∠=，又BG GD ==所以BDG ∆是正三角形，故有BD =如图，取DG 的中点O ，连接BO ，则BO DG ⊥， 又由（Ⅰ）得EF BO ⊥， 所以，BO ⊥平面CDFE ，且32BO =， 又BD CD ⊥，在直角BDC ∆中，BC =所以12BCE S ∆== 设D 到平面BCE 的距离为h ，则113433242B DCE DCE V BO S -∆=⋅⋅=⨯⨯=，113342D BCE BCE V h S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=，所以7h =， 故直线BD 与平面BCE所成角正弦值为h BD =. （建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分）OE FDCBAG20.解析：（Ⅰ）由333212+n n a a a S ++=，得333321211+n n n a a a a S +++++=，两式相减得3221111()n n n n n n a S S a S S ++++=-=+………………2分 因为，0n a >，所以21112n n n n n a S S S a +++=+=+，所以，对一切*n N ∈，有2112n n n a a S ++-=. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）2112n n n a a S ++-=可得，212(2)n n n a a S n --=≥， 两式相减得，22112(2)n n n n n a a a a a n ++--+=≥， 即2211(2)n n n n a a a a n ++-=+≥，………………6分由于0n a >，所以11(2)n n a a n +-=≥，………………7分又1n =时，解得11a =；2n =时，32221(1)a a +=+，解得22a =，满足11n n a a +-=， 因此，对对一切*n N ∈，都有11n n a a +-=，即{}n a 是等差数列. ………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，n a n =，而当2n ≥时，2na =<=2=⋅=<，………………12分 所以，当2n ≥时，2222123111132411n na a aa n n ++++<+-+-++--+232=+<，………………14分 又当1n =时，222212313nn a a a a++++<显然成立，所以，对一切*n N ∈，2212313nna a ++++<.………………15分另法： 因为2n n n =+>所以12n <=⇒<=, 从而311212231n n n⎛+<+-+-++- ⎪-⎝⎭33=<. 21. 证明：（Ⅰ）设001122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，易求得切线11:()PM x x p y y =+，切线22:()PN x x p y y =+，………………2分 因为点P 在两条切线上，所以10012002(),()x x p y y x x p y y =+=+.故点M 、N 均在直线00()xx p y y =+上，于是00:()MN l xx p y y =+，………………3分联立200220002()2()02xx p y y x y y y y p x py=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 由韦达定理得，2201201202(),x y y y y y y p+=-=，………………5分而12||,||,22p p MF y NF y =+=+ 所以，22221212000||||()244p p p MF NF y y y y y x py ⋅=+++=+-+2220()||2p x y PF =+-=. ………………8分（Ⅱ）由001122(,),(,),(,),222p p pFP x y FM x y FN x y =-=-=-知2010*******()()()2224p p p p FP FM x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++2010101()()()2422p p p py y y y y y =+++=++………………10分所以，02cos ||||||py FP FM PFM FP FP FM +⋅∠==⋅，………………12分 同理，02cos ||py PFN FP +∠=，………………13分 故cos cos PFM PFN ∠=∠， 所以，PFM PFN ∠=∠， 由（Ⅰ）知2||||||PF MF NF =⋅， 所以，PFM ∆∽PFN ∆所以，PMF FPN ∠=∠.………………15分 另法：（Ⅰ) 由已知抛物线方程即为22x y p =,x y p '=.设221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则切线PM 与PN 的方程分别为:221122,22x x x x y x y x p p p p=-=-.由21122222x x y x p p x x y x p p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 于是22222222121212122||222444x x x x x x x x p p PF p p ⎛⎫++⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22222221212122||||2222444x x x x x x p p p MF NF p p p⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.从而2||||||PFMF NF =.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 22222221122()()||||24x p x p x x PM NF p p ++-=⋅,22222212122()()||||24x p xp x x PN MF p p ++-=⋅.所以22||||||||||||||||PN PF PM NF PN MF PM MF =⇔===.又由(Ⅰ)知||||||||PF NF MF PF =,于是||||||||||||PN PF NF PM MF PF ==,故PMF ∆∽NPF ∆,从而 PMF FPN ∠=∠.22.解析：（Ⅰ）当2m =时，()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，………………2分所以，当ln 2x >时，()0f x '>；ln 2x <时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞. ………………4分 （Ⅱ）设22()(2)()2(2)()2(2)22x x g x x f x mx x e mx mx x e mx =-++=--++=-++， 而()(1)2x g x x e m '=-+，令()(1)2x h x x e m =-+，则()x h x xe '=.于是，当0x >时，()0h x '>，()h x 为增函数，………………6分又由(2)420g m =+>，知12m >-. ………………8分 (1)若1122m -<<，则2(0)120,(2)20g m g e m ''=-+<=+>， 此时，()g x '在区间(0,2)上有唯一零点，设为0x . ………………10分 则00x x <<时，()0g x '<.故()g x 在区间0[0,]x 上为减函数，0()(0)0g x g <=. 因此，1122m -<<不符合要求. ………………12分 (2)若12m ≥，则0x >时，()(0)120g x g m ''>=-+≥. 此时，()g x 在区间[0,)+∞上为增函数.故0x >时，()(0)0g x g >=. 因此，12m ≥符合要求. 综上，m 的取值范围是1[,)2+∞. ……………15分。