x3 1
C1 x1
D1
CB 段：
a x2 l
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
ymax b
EI
d 2 y2 dx22
M(x2 )
Fb l
x2
F(x2
a)
EI
dy2 dx2
EI ( x2 )
Fb 2l
x2 2
F 2
( x2
a)2
C2
EIy 2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
C2 x2
Mx2
FAy
x2
F( x2
a)
Fb l
x2
F( x2
a),
a x2 l
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2 y1 dx12
M( x1 )
Fb l
x1
EI
dy1 dx1
EI ( x1 )
Fb 2l
x2 1
C1
EIy 1
Fb 6l
例题5-5
F l
悬臂梁由三块木板粘接而成。跨
度为1m。胶合面的许可切应力为
50 0.34MPa，木材的〔σ〕= 10 MPa， z50 [τ]=1MPa，求许可载荷。 50
100
FS
M
Fl
F 解：1.画梁的剪力图和弯矩图
2.按正应力强度条件计算许可载荷
max
M max Wz
6F1l bh2
F1
F
4.按胶合面强度条件计算许可
50 载荷
z50
50
100
F
g
FS
S
* Z
IZb
F3b
h 3
2
bh3 b
4F3 3bh
g
12
F3
3bh g
4
3 100150106 0.34106 4
3825N 3.825kN
F
Fi
min
3.75kN
10kN
3.825kNmin 3.75kN
目录
§5-6 提高弯曲强度的措施
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
y
Ax
yB
l
EI 1 F ( x l)2 1 Fl 2
2
2
EIy 1 F ( x l)3 1 Fl 2 x 1 Fl 3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
max
B
Fl 2 ,
2EI
Fl 3 ymax yB 3EI
目录
F Bx
B
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
§5-4 弯曲切应力
切应变
Fs
h2 (
y2)
G 2IzG 4
P
P
横力弯曲截面发生翘曲
若各截面 Fs 相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，对 计算
无影响。
若各截面Fs不等（如有q作用），则翘曲程度不同，各纵向纤维长度发
生变化，对 计算有影响。但这种影响对
梁常可忽略。
h= l
§5-4 弯曲切应力
max max = 4 ( l / h )
（l 为梁的跨度）
目录
§5-4 弯曲切应力
有些情况必须考虑弯曲切应力
梁的跨度较短（l / h < 5）； 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）； 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、
胶合面或铆钉等）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
§5-4 弯曲切应力
M A1 y1dA I z
A1 y1dA 'bdx 0
m m1
FN1 p τ’
p1 nτ
dx n1
q
σdA y
FN2
z
y
q1
y1
' dM ( 1 )
dx I zb
A1 y1dA
dM
dx
Fs ,
A1 y1dA Sz*, ' ,
Fs
S
* z
Izb
§5-4 弯曲切应力
3 FS 2A
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知， l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx
0, FAy
Fb l
,
FBy
Fa l
2）弯矩方程
AC 段：
M x1
FAy
x1
Fb l
x1 ,0
x1
a
CB 段：
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
ymax b
B B x
FBy
Fb
d
3 2
62.5160 32
0.133
46.4106 Pa
46.4MPa
32
（5）结论 轴满足强度要求
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-3
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重
F1 6.7kN,起重量 F2 50kN, 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力
140MPa, 试选择工字钢的型号。
M
M+dM
τ’
y
pp
1
n dx n1
FN1 p τ’
p1 nτ
dx n1
z
q
y
q1
y1
σdA
y FN2
pn : N1
A1 dA
M
M
A1 I z y1dA I z
A1 y1dA
p1n1
:
N2
M
dM Iz
A1 y1dA
pp1 : dQ' 'bdx
目录
§5-4 弯曲切应力
M dM X 0, Iz
max
M max WZ
[ ]
合理安排支座
1. 降低 Mmax 合理布置载荷
目录
§5-6 提高弯曲强度的措施
合理布置支座
F
F
F
目录
§5-6 提高弯曲强度的措施
合理布置支座
目录
§5-6 提高弯曲强度的措施
合理布置载荷
F
目录
§5-6 提高弯曲强度的措施
max
M max WZ
[ ]
2. 增大 WZ
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念
y
x
转角
挠度
y
挠曲线
x
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y 向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
dx
7-2
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
d2y dx2
M(x) EI z
EI z
d2y dx2
M(x)
积分一次得转角方程为：
EI z
dy dx
EI z
M( x)dx C
再积分一次得挠度方程为：
EIz y M( x)dxdx Cx D
7-3
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
第六章 弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 提高弯曲刚度的一些措施
目录
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
7-1
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
（3）抗弯截面系数 小的截面
最Wz
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解： （1）计算简图 （2）绘弯矩图
（3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
Fa
max
MB WzB
Fa
d13
62.5
267 0.163
32
32
C截面：
41.5106 Pa 41.5MPa
max
MC WzC
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
( x) EIz
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
由数学知识可知：
1
d2y dx2 [1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx2
所以
d2 y M(x) dx2 EIz
y M (x) > 0
EI
d2y dx2
M(x)
F(x
l)
积分一次
EI dy EI 1 F(x l)2 C
dx
2
再积分一次
EIy 1 F (x l)3 Cx D 6
目录
F Bx
B
§6-3 用积分法求弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, yA 0
代入求解
C 1 Fl 2 , D 1 Fl 3
2.5kN.m 4kN.m
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
t,max 27.2MPa t c,max 46.1MPa c