x2
F ydx y F n iai dx y i 1

i 1
n
x2
x1
F d F d 2 F iai dx 0 y dx y dx y 2
由于δai≠0，则

x2


n a1 a2 an 0 a1 a2 an
2.里兹法
若δai=0，则有
0 a i
得到一组n个方程
a 1 0 a an
这是与待定参数͞a的个数相等的方程组，可以求解͞a
1.利用变分法推导控制方程

边界条件
F d F x2 y 0 y dx y x1 x2 F y 0 y x1


几何边界条件
yx1 0 yx2 0 yx1 0 yx2 0
多项式插值
上式中
1 1 s 2 1 Ni 1 s 2 Ni
可以很容易写出N
Ni 1 1, Ni 1 0; N a1 a2 s
多项式插值

3.自然坐标下的插值函数（线性） —— 与单元形状有关的无因次坐标
单元内一点P的位置用如下 自然坐标表示
1.利用变分法推导控制方程

原理回顾
yx F x, y, y, ydx
x2 x1

取泛函的变分为零，有 0 物理意义是系统的势能取最小 欧拉方程为
或内力功与外力功之差为零

F d F d 2 F 2 0 y dx y dx y
多项式插值

1.整体坐标下，一维简单单元场变量的线性插值多项 式 y x a a x
1 2
y1 yx1 a1 a2 x1 , y2 y x2 a1 a2 x2 y2 y1 l x2 x x x1 yx a1 a2 x y1 y2 l l e N1 y1 N 2 y2 Ny x a2 y1 x2 y2 x1 , l
1 如 N1 0 0 L1 1, L2 0 L1 1 2, L2 1 2 L1 0, L2 0
l x x L1 1 2 l l l x x1 L2 2 l l
PL1 , L2
x1
(1,0)
l2
l1
x2
(0,1)
l为单元长度，L1、L2为P点到节点2和节点1的距离 。
多项式插值

一维单元只有一个独立坐标，L1、L2不独立
L1 L2 1

对于线性单元，自然坐标就是形函数
d d 2v EI 2 v 0 dx dx 0 d 2 v dv EI 2 0 dx dx 0
vl 0 v0 0 d 2v d 2v 2EI 两端简支 0 EI 2 0 2 dx dx x l x 0
l l

1、Φi∈[x1,x2]且满足相应的几何边界条件；
2、互相线性无关；
3、是完备的，即对于任何y∈[x1,x2]，和ε>0，存 在正整数N和常数组ai，使得|y-ΣΦiai|<ε，其中 i=1,2,...,N
2.里兹法

1958年W.Ritz提出了解y由一组带有待定参数的试探 函数来表示，则泛函由试探函数和待定参数表示泛函。 若y=ΣΦiai是问题的解，则δΠ =0，泛函的变分为0， 相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分
le
则变分
e 0
4.有限元法


2.插值函数 有限元的基本思想是分片近似，对于复杂问题的解， 是通过单元剖分与分片近似得到的。 其中一个重要步骤是在每个单元内选择一个简单的近 似函数。这种用以表示单元内部解的性态的近似函数 称为插值函数。 一般采用多项式插值函数。因为：


多项式插值


插值：要求近似函数y(x)与被近似的函数f(x)在某些点 处具有相同的函数值，甚至直到某阶导数值。在有限 元中，取均变量的节点值（包括其导数值）为未知量 。 自由度：场变量的节点值，称为节点自由度。选择͞a 参数的个数等于单元节点自由度数。单元近似函数可 以用节点上自由度表示。令͞ye为单元节点值向量。 ye a 1 a ye 1 a ye N ye N i yi
1较易进行单元方程的列式等计算即微分与积分 2增加多项式的阶次可以改进计算结果。

这里重点介绍一维插值函数。
多项式插值

插值多项式 yx a1 a2 x a3 x2 an1x m
T 令 a a1 a2 a3 an 1 1 x x2 xn 则 yx a
如果能求出弹性结构的总 势能，则可由最小势能原 理获得其控制微分方程和 边界条件
1.利用变分法推导控制方程

如果存在一个位移函数，即满足欧拉方程，又满足 边界条件，则此位移函数就是问题的精确解； 实际操作中，可以不得到控制方程，而直接选择试 探函数，使其满足变分为零就可以使问题得到解答； 实际应用中，往往只让位移函数满足其中部分等式， 剩余等式近似满足，这就是利用变分问题直接近似 计算的理论依据
几何边界条件
v0 0 1 dv 0 dx x 0
vl 0 dv 两端固支 0 dx x l
dv 0 v0 0 dx x 0 3 2 一端悬臂 3 d v d v EI 0 EI 3 0 2 dx dx x l x l
EI
1 d 2v 2 EI qvdx 2 02 dx
l
3.伽辽金法
试探函数1 试探函数2
v2 x a1 sin
v1 x axl x
x
l
a2 sin
2x 3x a3 sin l l
分别按步骤求解直梁中点的挠度
Ni Li , N j L j
x x1 L1 x2 L2 等参单元 y y1L1 y2 L2
多项式插值

4.采用自然坐标的高次单元
具有二次或二次以上插值多项式的单元，称为告辞单元 。为使插值多项式的广义坐标数（形函数的个数）与节 点自由度数相匹配，除端点外还要采用中间节点。

l
x x a1 1 2 x1 x2 a2 2 , x2 x1 xc 1 x1 x2 2 yi y j 2 , a2
x1 -1
y j yi 2
x2 0 1
s 1,1
y s a1 a2 s, 其中a1 N i yi N j y j

若几何边界任意，则有自然边界条件
F d F x2 y 0 y d x x1 x2 F 0 y x1
1.利用变分法推导控制方程

例、直梁受均布载荷作用
1 d 2v 2 EI dx2 qvdx 02

4.有限元法

1.单元离散
用最小势能原理，由于能量是可以分区域相叠 加的，在最小势能原理中涉及的泛函，其自变量函 数（宗量）和它的导数的最高幂数为二次，称为二 次泛函，是积分方程，可以分区域相加
e
如果
1 d 2v 2 e e EI dx2 qve x dx le1 2


求解步骤
将求解域离散或单元 假定解在单元内部按某种规律变化，造插值函数 推导单元方程 系统方程的组建 引入边界条件 求解 返回处理 重点是插值函数选取和单元矩阵的建立
4.有限元法
1.单元离散 2.插值函数# 3.单元刚度矩阵及载荷列向量的建立# 4.整体刚度矩阵及载荷列向量 5.虚位移原理的变分法
变分法-有限元数学依据
1.利用变分法推导控制方程 2.里兹法 3.伽辽金法 4.有限元法

1.利用变分法推导控制方程

通过上次课的推导可知，求泛函的极值问题 与解微分方程的边值问题是等价的。 一方面满足微分方程及边界条件的函数将使 泛函取极值，另一方面从变分的角度看，使 泛函取极值的函数是满足问题的控制微分方 程和边界条件的解。
二次单元
yx N1 y1 N 2 y2 N3 y3 a1 a2 x a3 x 2 N ye
j
i
(1,0)
(1/2,1/2)
k
(0,1)
形函数
i i i Ni L1, L2 a1 L1 a2 L2 a3 L1L2 , i 1,2,3
多项式插值
2.里兹法

该方法假设一位移函数，只令其先满足位移 边界条件，然后通过
0


建立方程，求解方程组，得到的结果近似满 足力边界条件和平衡方程 具体过程如下
2.里兹法

若能找到的近似解，由一组线性无关的函数 的线性组合表 示 y i ai 其中Φ1、Φ2、Φ3... 为一族坐标函数序列，满足如下条件
y
y(x) y1
y2
a1
x1
x
x2
多项式插值

形函数的特点
（1）形函数在其相关的节点，其值为1，在其他的 节点，其值为0. Ni x j ij （2）ΣNi=1为形函数完备性要求，如各节点值相 等时 yx Ni yi yi Ni yi
多项式插值
2.采用局部坐标线性插值多项式 常常需要在单元内对形函数及其导数进行积分， 采用局部坐标简化积分运算 2 x x1 , x2 yi yj s a1 a2 x x xc