2016 年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1） 设集合 A x x2 4 x 3 0 ， B x 2x 3 0 ，则 A B
（A ）（ 3 ，
3
） （ B ）（
3， 3 ）
2
2
（ C）（ 1， 3 ） 2
C
（Ⅰ）证明：平面 ABEF ⊥平面 EFDC ； （Ⅱ）求二面角 E BC A 的余弦值 .
D F
E A
B
（ 19） （本小题满分 12 分）
某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰 . 机器有一易损零件，在购买机器时，可
以额外购买这种零件为备件， 每个 200 元 . 在机器使用期间， 如果备件不足再购买， 则每个 500 元 .
的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
1
（A ）
3
1
（B）
2
2
（C）
3
3
（D）
4
x2
y2
（ 5） 已知方程
1表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为
m2 n 3m2 n
4，则 m 的取值范围是
（A ）（ 1， 3 ） （ B）（ 1， 3 ） （ C）（ 0 ， 3 ）
（ D）（ 0 ， 3 ）
故选 C．
1
1
1
1
【 2°用特殊值法，令 a 3,b 2, c 1 得 3 2 2 2 ，排除 A ； 3 2 2 2 3 2 ，排除 B ；
2
1
1
1
3 log 2
2 log 3 2 ， C 正确； log 3
log 2 ，排除 D；∴选 C】
2
2
2
（ 9）如下表：
循环节运 行次数
xx x n 1 2
．
（ 16） 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料 . 生产一件 A 需要甲材料 1.5kg, 乙材料
1kg，用 5 个工时； 生产一件 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg ，用 3 个工时 . 生产一件 A 产品的利
润为 2100 元，生产一件 B 产品的利润为 900 元 . 该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超
4
故选 D
（ 8）对 A ：由于 0 c 1，∴函数 y xc 在 R 上单调递增，因此 a b 1
c
c
a b ， A 错误；
对 B：由于 1 c 1 0 ，∴函数 y xc 1 在 1, 上单调递减，
c1
c1
c
c
∴a b 1 a b
ba ab ， B 错误
对 C：要比较 a logb c 和 blog a c ，只需比较 aln c 和 b ln c ，只需比较 ln c 和 ln c ，只需 bln b
ln b ln a
blnb aln a
和 aln a
构造函数 f x xln x x 1 ，则 f ' x ln x 1 1 0 ， f x 在 1, 上单调递增，因此
1
1
f a f b 0 a ln a bln b 0
a ln a bln b
又由 0 c 1得 ln c 0 ，∴ ln c ln c a ln a bln b
为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 ：
4 cos .
（Ⅰ）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ） 直线 C3 的极坐标方程为
0 ，其中 0 满足 tan 0 2 ，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在
C3 上，求 a .
（ 24） （本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲
8∴ d
a10 a5 10 5
1，∴
a100 a10 90d 98 ．
（ 4）如图所示，画出时间轴：
7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30
A
C
D
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才
能保证他等车的时间不超过 10 分钟，
y y ny
判断 x2 y2 36
是否 输出
nn n 1
运行前
0
第一次
0
第二次
1
2
第三次
3
2
1
/
/
1
1
否
否
2
2
否
否
3
6
是
是
输出 x
3
，y
2
6 ，满足 y
4 x ， 故选 C．
（ 10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为 y 2 2 px p 0 ，设圆的方程为 x 2 y 2 r 2 ，题目条件翻译如图：
根据几何概型，所求概率
10 10 p
1
．
40 2
x2 （ 5） m2 n
y2 3m2 n
1表示双曲线，则 (m 2
n)(3m 2
n)
0 ，∴ m 2
n 3m2 ，
2c 4 ∵ c 2 (m2 n) (3m2 n) 4m2
解得 m 2 1，∴ 1 n 3 ．
（ 6）原立体图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 1/8 后的三视图，表面积是 7/8 的球面面积和三个扇形面积之和，
n1
xx
, y ny
2
x, y 的值满足
否
（A ） y 2x （ B） y 3x （ C） y 4x （ D） y 5x
（ 10） 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A , B 两点，交 C 的准线于 D , E 两
x 2 y 2 36 是
输出 x, y
点．已知 AB 4 2 ， DE 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为
blog a c a logb c ，C 正确
对 D：要比较 loga c 和 log b c ，只需比较 ln c 和 ln c ln a ln b
而函数 y ln x 在 1,
上单调递增，故 a b 1 ln a ln b 0
1
1
ln a ln b
又由 0 c 1得 ln c 0 ，∴ ln c ln c log a c logb c ， D 错误 ln a ln b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
2
2
2
（ 13） 设向量 a ( m,1) ， b (1,2) ，且 a b a b ，则 m
．
(22) ～ (24) 题为
（ 14） (2 x x) 5 的展开式中， x3 的系数是
．（用数字填写答案）
（ 15） 设等比数列 a n 满足 a1 a3 10 ， a2 a4 5 ，则 a1a2 an 的最大值为
)， x 2
为 f ( x) 的零点， x 为 y f ( x) 图象
4
4
的对称轴，且 f ( x) 在 ( , 5 ) 单调，则 18 36
的最大值为
（A ） 11
（ B） 9
（ C） 7
（D）5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13) ～ (21) 题为必考题，每个试题都必须作答。第
选考题，考生根据要求作答。
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜
频数
40
集并整理了 100 台这种三年使用期内更换的易损零件，得
下面柱状图：
20
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器
更换的易损零件数发生的频率， 记 X 表示 2 台机器三年内
O
8
9
10
11 更换的易损零件数
共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 .
（A ）2
（B）4
（C）6
结束 （D ） 8
（ 11） 平面 过正方体 ABCD A1 B1C1D1 m ， ∩平
面 ABB1 A1 n ，则 m, n 所成角的正弦值为
3
（A ）
2
2
（ B）
2
3
（C）
3
1
（D）
3
（ 12） 已知函数 f ( x) sin( x ) ( 0,
（ B）
（C）
（D）
（ 8） 若 a b 1， 0 c 1，则
开始
（A ） a c bc
（ B） ab c bac
输入 x, y, n
（C） a logb c b log a c
（ D ） log a c logb c
（ 9） 执行右图的程序框图， 如果输入的 x 0, y 1, n 1，则输出
n n1
（Ⅱ）若 c
7 ， △ ABC 的面积为 3 3 . 求 △ ABC 的周长 . 2
（ 18） （本小题满分 12 分）
如图，在以 A, B, C , D , E, F 为顶点的五面体中， 面 ABEF 为正方形， AF 2FD ， AFD 90 ，
且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 60° .
过 600 工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（ 17） （本小题满分 12 分）
△ ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 2 cosC (a cos B b cos A) c .
（Ⅰ）求 C ；
（Ⅰ）求 X 的分布列；