绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i iiz 211++-=，则=z A.0 B.21C.1D.2 2. 已知集合{}02|2>--=x x x A ，则=A C R A. {}21|<<-x x B.{}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>-<x x x x D.{}{}2|1|≥-≤x x x x3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4233S S S +=，21=a ，则=5a A.-12 B.-10 C.10 D.125.设函数()()ax x a x x f +-+=231，若()x f 为奇函数，则曲线()x f y =在点()0,0处的切线方程为A.x y 2-=B.x y -=C.x y 2=D.x y = 6.在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EBA.AC AB 4143-B.AC AB 4341- C.AC AB 4143+ D.AC AB 4341+7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A.172B.52C.3D.28.设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()0,2-且斜率为32的直线与C 交于N M ,两点，则=⋅FN FMA.5B.6C.7D.89.已知函数()()()a x x f x g x x x e x f x ++=⎩⎨⎧>≤=,0,ln 0,，若()x g 存在2个零点，则a 的取值范围是A.[)0,1-B.[)+∞,0C.[)+∞-,1D.[)+∞,110.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。

三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AC AB ,，ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。

在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为321,,p p p ，则ABA.21p p =B.31p p =C.32p p =D.321p p p +=11.已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为N M ,。

若OMN ∆为直角三角形，则=MNA.23B.3C.32D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.433 B.332 C.423 D.23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 .14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12+=n n a S ，则=6S .15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数()x x x f 2sin sin 2+=，则()x f 的最小值是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17--21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在平面四边形ABCD 中,.5,2,45,90===∠=∠BD AB A ADC（1）求ADB ∠cos ； （2）若22=DC ，求BC .CAB18.（12分）如图，四边形ABCD 为正方形，F E ,分别为BC AD ,的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且BF PF ⊥. （1）证明：ABFD PEF 平面平面⊥; （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.19.（12分）设椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于B A ,两点，点M 的坐标为()0,2.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMB OMA ∠=∠.20.（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。

检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。

设每件产品为不合格品的概率都为()10<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立。

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()p f ，求()p f 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值。

已知每件产品的检验费用为2元。

若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21.（12分）已知函数()x a x xx f ln 1+-=. （1）讨论()x f 的单调性；（2）若()x f 存在两个极值点21,x x ，证明：()()22121-<--a x x x f x f .（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2+=x k y ，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为03cos 22=-+θρρ. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()11--+=ax x x f .（1）当1=a 时，求不等式()1>x f 的解集；（2）若()1,0∈x 时不等式()x x f >成立，求a 的取值范围绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B8．D9．C10．A11．B12．A二、填空题 13．6 14．63- 15．16 16．332-三、解答题 17．解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52,sin 45sin ADB=︒∠所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒， 所以223cos 1255ADB ∠=-=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD △中，由余弦定理得2222cos 22582522525.BC BD DC BD DC BDC=+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以5BC =.18．解：（1）由已知可得，BF PF ⊥，BF EF ⊥，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .（2）作PH EF ⊥，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.由（1）可得，DE PE ⊥. 又2DP =，1DE =，所以PE =又1PF =，2EF =，故PE PF ⊥.可得PH =32EH =.则(0,0,0)H，P , 3(1,,0)2D --，3(1,2DP =，HP =为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||3||||HP DPHP DP θ⋅===. 所以DP 与平面ABFD .19．解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =. 由已知可得，点A 的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y =y =-.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x <2x <MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y y k k x x +=+--. 由11y kx k =-，22y kx k =-得12121223()4(2)(2)MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则3331212244128423()4021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.20．解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-. 因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.令()0f p '=，得0.1p =. 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<.所以()f p 的最大值点为00.1p =.（2）由（1）知，0.1p =.（ⅰ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=. （ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验.21．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（ⅰ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ⅱ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x当2()2a a x+∈+∞时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>. 所以()f x在，)+∞单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln x x x -+<0，即1212()()2f x f x a x x -<--.22．解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=. （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆.由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线. 记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l . 由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，故43k =-或0k =. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点. 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+.23．解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥ 故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >.（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立. 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤. 综上，a 的取值范围为(0,2].。