命题1：1)
A C
B D


F=

A C

F F
B D

F F
;
2)设为列向量，且B=(1,L ,s ),则
B=( 1,L , s );
3)设A=(1,L
,t )nt，B=(1,L
,
s
)则 ps
A B=(1 1,L
2）Cmn的任两种范数均是等价的，即对 A ，A ，存在


正数k1及k
，使得
2
k1
A

A
k2
A
，A Cmn;

3)
矩阵序列{A k }按任一范数收敛于A 0

lim
k
aikj
ai0j , i, j.
矩阵可以视为拉直的向量，但是矩阵还有乘法运算，在考虑 范数时，自然要两者兼顾，为方便起见，我们只考虑方阵：
推论：
1)(A B)k =Ak Bk,k=1,2,L ；
2)(A

I n
)(I m

B)
(Im

B)(A

I n
)
A

B.(乘法可交换)
性质4可推广到一般情形：
1)(A 1

B )(A
1
2

B 2
)L
(A k

B k
) (A1A 2
L
Ak )(B1B2 L
B ); k
2)(A 1

m,n
例3：设 A Cmn ,则
A
v1
=
i，j 1
aij
,
A
v
= max i, j
aij
,以及
A
vp
m,n =
i，j1
aij
1/ p
p
( p 1)均是A的范数.

类似的前面的讨论，我们有如下定理：
定理3：
1）A Cmn的任一种范数均是A的元素的连续函数；
i 1
则 x 是Cn中的范数.称为p-范数. p
p=1时，为1-范数；p=2时，为2-范数； 令p ,得-范数.这三种范数为常见范数.
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种


范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x


x
k2
x
，

称 x 与 x 是等价的.

n
lim (
m i1
(m) i
i(0)
1 2
)2
0

lim
m
(m) i
i(0)，i=1,2L
, n.
注：有限维空间中的元列按任一种范数收敛均等价于 按坐标收敛.
二、矩阵范数
任一 m×n 的矩阵均可看做 mn 维向量，故可将向量 范数直接移植到矩阵上来. 定义4：若A Cmn ,均对应一个实数,记为 A ，满足： 1) A 0，且 A 0 A=0； 2) C，A = A ; 3) A+B A B , 则称 A 是矩阵A的向量范数（广义矩阵范数）.
1/i，j1
aij

= tr(AH A) 1/2 是A
证明：只需验证相容性，设 A=(aij )nn , B=(bij )nn , 则
AB
2 v2
n
=
i，j 1
cij
2

n i，j 1
ai1b1 j
ai2b2 j
L
2
ainbnj
第五章 矩阵的直积
第一节 直积的定义与性质
定义：设A=(aij )mn , B=(bij ) pq , 称分块矩阵
a11B

a
21B
a12B L a22B L
M M
am1B am2B L
a12B
a
2
nB

M
a mnB mpnq
为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为A B=(aijB)mpnq .

A C

F F
BF
D

F

2)设 =(a1,L ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1,L ,s )

M
B

M



M

an
an B an (1,L ,s )
a1 1,a1 2 L ,a1 s
x( ) V,设 x 1e1 L nen , 将x单位化得
x '

n
1 1/2 e1 L
i
2


n
n 1/2 en ,则x'S.所以
i
2

i1

i1

k1
x'
x'
k2.而此时
x' =
x'
x x

，故
k1
f(1,L
,n )=
x ，x ，所以f 在Ｓ上无零点．
x

由闭区间上的连续函数性质知，f在S上取到最大最小值，即
存在x 0
,
y0

V，使得x（x的坐标在S
上）, 有
k1 =
x
0
x


0
x
x
y 0
y 0
k2
其中x 0
=(e1
,L
,
e
n
)
',y 0
=(e1
,L
, en )',','S.
n
(1,L ,n ) x ,则y iei V，则有 i 1
n
(1,L ,n )-(1,L ,n ) = x y x y (i i )ei i 1
n
n
1n
1
( i i ei ) ( ei 2 )2 ( i i 2 )2


定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1,L , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 L nen (e1,L , en ) , 其中 =(1,L ,n )T为x的坐标向量.
可断言V中任一范数 x 都是关于1,L ,n的连续函数，令
x 2 2 Re(x, y) y 2 x 2 2 (x, y) y 2
2
2
2
2
x 2 2 x y y 2 x y 2
2
22
2
2
2
所以 x+y x y .
2
2
2
n
1
例2：设1 p ,x=(1,2,L ,n )T Cn ,定义 x p ( i p ) p ,
1

2
齐次性显然满足.下证满足三角不定式：
设x=(1,2 ,L ,n )T , y=(1,2 ,L ,n )T C n.注意到
n
1
x ( 2
i 2 )2 =
xH x
(x, x),即 x 是由酉空间C n 2
i 1
中内积诱导的范数,故由Cauchy不定式得
x+y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) ( y, x) ( y, y) 2
,1 s ,L
,t
1,L
,t


s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )

(cij
)
(bij ) (dij )


F

(aij )

(cij
)

F F
(bij (dij
) )

F F


x
x k2
x.



定义3(极限)：设x1,L ,xm,L 是线性空间V中元素序列， 若x V,使得：
lim
m
xm x
0，

称序列{xm}按
-范数收敛于x,
记为 lim m
xm

x.
线性空间可定义多种范数收敛，如1-范数收敛，2-范数收敛， 它们之间有什么关系呢？
2d
.
3b
3d

A B, B A的阶数相同，但一般A B B A.直积不 满足交换律. 由直积的定义容易推出以下定理：
定理1：1)两个上三角矩阵的直积是上三角阵; 2)两个对角矩阵的直积是对角阵; 3)In Im Im In Imn.
直积具有以下运算规律：


M

an 1,an 2,L ,an s





a1 M

1
,L
,


a1 M

s


an
an






a1 M

1
,L
an
,


a1 M
定理2：设V是有限维线性空间，则 1）序列{xm}按某种范数收敛于x0，则{xm}按任何范数收敛于x0， 即有限维线性空间按范数收敛是等价的. 2）{xm}按范数收敛于x0 按坐标收敛于x0.