5. 矩阵 A 与其共轭转置 A∗ 的矩阵范数有何联系? 可逆矩阵与其逆矩阵的矩阵范数有何 联系? 线性变换与其伴随变换的范数有何联系?
6. 矩阵范数中次乘性的等号何时成立? 是否存在矩阵范数使得次乘性中的等号永远成立? 7. 能否在赋范线性空间中定义合理的角度? 研究 1- 范数和 ∞- 范数的单位圆中的几个角, 它们是直角吗?
2. 试举例说明矩阵 eAeB, eBeA 与 eA+B 可以两两不等. 又, 如果 eAeB = eBeA, 是否 有 eAeB = eA+B?
3. 矩阵的勾股定理是否成立, 即是否有 cos 2A + sin 2A = I? 4. 公式 (A(t)2) = 2A(t)A (t) 正确吗?
4. 设 p 是素数, 有限域 F p = Z/pZ 的加法与乘法结构如何? 能否建立 F 2(或 F p) 上的线
性空间 (线性变换) 理论?
5. 实多项式空间 R[x] 与复数域 C 均是 R 上的线性空间, 它们的张量积是什么?
6. 设 V 是线性空间, σ ∈ EndV 是幂零 (幂等, 同构, 等) 变换. 设 U 是 σ 的不变子空间,
+
∂2 ∂z2
是 Laplace 算符.
波动方
程
∂2u ∂t2
=
c2∇2u
的全体解是否构成线性空间?
若
u
与时间
t
无关,
则波动方程变为 Laplace 方
程∇2u = 0. 该方程的全体解是否构成线性空间? 总结之.
4. 试给出基与基向量一个直观的解释.
5. 试给出过渡矩阵的一种直观解释.
1. 将内积的正定性条件去掉将如何? 是否这是无稽之谈? 2. 正交性概念是通常垂直概念的推广. Gram-Schmidt 正交化方法在立体几何中有何解 释? 3. 试给出标准正交基的一个直观解释. 4. 由标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵有何特点? 5. 设 F = C 或 R. F 上的 n 元二次型全体是否构成 F 上的线性空间? n 维双线性型全体 呢? 6. 试对 F 上的任意 m 维向量 x 与 n 维向量 y, 推广双线性型的概念. 这样的双线性型全 体是否构成 F 上的线性空间? 7. 三阶度量矩阵的行列式有何几何解释? 8. 设 (•, •)i, i = 1, 2 是 n 维实线性空间 V 上的两个不同的内积, α, β ∈ V . 是否可
么 A 与 B 是否相似? 如果既交换 1、2 两行，又交换 1、2 两列, 则又如何? 4. 能否有某种办法衡量有相同特征值的矩阵与无相同特征值的矩阵的多少? 你认为哪种
多一些? 5. 能否有某种办法衡量可对角化的矩阵与不可对角化的矩阵的多少? 你认为哪种多一些?
1. 将线性空间的条件 (B4) 即 1 • α = α 改为 1 • α = 2α 将如何?
能 (α, β)1 = 0 但 (α, β)2 = 0 ? 是否可能 (α, α)1 < (β, β)1 但 (α, α)2 > (β, β)2? 一般地, 这两
个内积有何关系?
1
9. 试对 n 维实线性空间 V 上的双线性型讨论上题类似的问题?
第二章矩阵与线性变换
1. 两个子空间的并何时是子空间? 2. 两个向量张成的子空间的几何意义是什么? 3. 两个子空间的交, 并与和的几何意义分别是什么? 4. 实数域 R 作为实线性空间的所有子空间是什么? 作为有理数域上的线性空间呢? 5. 复数域 C 作为实线性空间的所有子空间是什么? 作为复数域上的线性空间呢? 6. 解释 3 阶矩阵 A 的四个子空间的几何意义和相互位置关系. 7. 设 F = C 或 R. 则 F 上的 n 元二次型全体构成 F 上的线性空间 (第一章第五节思考 题 5 ). 全体半正定二次型是否是该线性空间的子空间? 全体不定二次型呢?
1. 试用正交分解理论解释勾股定理. 2. 试利用正交分解理论在空间中建立关于面积的勾股定理. 能否建立更高维的勾股定理? 3. 最优解何时唯一? 4. 如果在 R3 中定义“广义内积”(x, y) = x1y1 + x2y2 − x3y3, 则正交性有何变化? 是否 存在非零向量 x 与自己正交?
1. 设矩阵 A ∈ Mn(Q), 且 A 的特征值均属于 Q. 是否存在可逆矩阵 P ∈ Mn(Q) 使
得 P −1AP 为 Jor(dan 标准形)? 将 Q 换成 Z 又如何?
2. 分块矩阵
AB BA
的 Jordan 标准形与 A, B 的 Jordan 标准形有何关系? 特征值有何
联系? 特别讨论 A = 0 与 A = B 的情形. 3. 仿照幂零矩阵相似的判别准则给出两个同阶矩阵相似的判别准则. 是否能够判断该准则
1. 试讨论非正规矩阵的谱分解的几何意义. 2. 设单纯矩阵 A 仅有一个非零特征值 λ, 则 A 的谱分解是什么? 3. 两个 n 阶矩阵 A 与 B 何时满足条件 AB = BA = 0? 4. 研究单纯矩阵的谱分解, 说明为什么不定义非单纯矩阵的谱分解.
3
1. 如果一个矩阵有 LU 分解, 它是否一定有 U L(即上三角在左, 下三角在右) 分解? 2. 设一个矩阵既有 LU 分解也有 U L 分解, 试比较正定矩阵的这两种分解在计算上的差 异? 3. 半正定矩阵有无类似的 Cholesky 分解? 负定矩阵和不定矩阵呢? 4. 如果去掉对角元素均为正的条件, 正定矩阵的 Cholesky 分解是否具有唯一性? 5. 可逆矩阵未必有三角分解. 能否设计一种方法以比较有三角分解的可逆矩阵与没有三角 分解的可逆矩阵的数量?
2. 线性空间的定义实际上没有用到每个非零元素均有逆元这个条件. 如何改造线性空间的
定义, 使其包括更多的系统, 比如包括通常加法和乘法下的整数集合 (去掉数域 F 中每个非零
元素均有逆元的条件将得到数环的概念)?
3. 设
u
=
u(x, y, z, t)
是未知函数,
c是常数,∇2 Nhomakorabea=
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y2
1. 设
Ui, Vj, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j
≤m
是线性空间.
描述
∑n Hom( ⊕Ui,
∑m ⊕Vi)
中的元素的
i=1
j=1
结构, 并以此给出分块矩阵的一个几何解释.
2
2.
√ Q( 2)
是有理数域上的 2 维线性空间.
它与
Q
及自身的张量积
(空间)
分别是什么?
3. 复数域 C 是实数域 R 上的 2 维线性空间. 商空间 C/R 是什么?
1. 若
lim
n→∞
AnBn
存在,
是否
lim
n→∞
An,
lim
n→∞
Bn
一定存在?
为什么?
2. 设 A, B 均幂收敛, A + B, AB 幂收敛吗?
1. eAeB = eBeA 成立的可能性有多大? 更一般地, 设 f (x) 是一个幂级数, 则 f (A)f (B) = f (B)f (A) 成立的可能性如何? 一般地, 如何比较与 A 可交换的矩阵的数量 (当然是无穷多个) 和与 A 不可交换的矩阵的数量?
设 σ¯ 是由 σ 诱导的 V /U 上的商变换, 问 σ¯ 是否也是幂零 (幂等, 同构, 等) 变换?
第三章矩阵的 Jordan 标准形
1. 实数域上的 Schur 三角化定理成立吗, 即每个实方阵是否可以正交三角化? 2. 是否每个矩阵都可以分块酉三角化, 即分块 Schur 三角化定理中的可逆矩阵是否可以加 强为酉矩阵? 3. 设 A, B 为同阶方阵, 则由降幂公式知 AB 与 BA 有相同的特征多项式, 它们是否相似? 4. 特征多项式与最小多项式的商多项式有何意义? 5. 如果一个线性变换 σ 的特征值的模均小于 1, σ 有何特点? 6. 如果一个线性变换 σ 有一组正交的特征向量, σ 有何特点?
2. 初等变换的几何意义是什么? 3. 试给出满秩分解的一种直观意义.
1. 矩阵的特征向量和特征值有何直观意义? 2. 交换矩阵 A 的两行对其特征值与特征向量有何影响? 交换两列呢? 试总结之. 3. 如果同时交换矩阵 A 与 B 的相同两行 (比如同时交换第 1、2 行), 所得的矩阵相似, 那
第五章矩阵函数及其微积分
1. 在 R2 中, 中心在原点的非等边矩形是否可以是单位圆? 中心在原点的正三角形与双曲 线呢?
2. 三角不等式中的等号何时成立? 是否存在范数使得三角不等式总是等式? 3. 两个范数的乘积是否仍是范数? (和的情形见习题 18.)
4. 内积可以诱导范数. 哪些 p- 范数可以诱导内积, 即定义 (x − y, x − y) = ||x − y||2? 哪些 不能?
为直线? 空间 (即 R3) 中的线性变换能否将平面变为直线? 能否将抛物线变为直线或者椭圆? 3. 如何建立空间中的过原点的直线和平面上的过原点的直线之间的同构映射? 4. 试利用线性变换的观点解释矩阵的等价. 5. 以线性变换的观点解释列满秩与行满秩矩阵以及矩阵的满秩分解. 6. 设 V 是 1 维线性空间, 则 EndV 与 AutV 是什么? 特别, 什么是 EndR, AutR, EndC, AutC? 7. 有限维线性空间上的单线性变换就是满线性变换, 此结论对无限维线性空间成立吗? 8. 同构 R ∼= R∗ 与 R3 ∼= (R3)∗ 有何自然含义? 9. 设 V 是空间中满足 x + y + z = 0 的子空间, V 的对偶空间是什么?
与幂零矩阵相似的判别准则哪个更有意义?
1. 两个矩阵的和与积的 Jordan 标准形是否等于它们的 Jordan 标准形的和与积? 2. 如果 P 与 Q 均为 Jordan 标准形中的变换矩阵, 它们之间有何关系?