④、非零整数的倍数是无限的。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
3、0是任何非零整数的倍数，1是任何整数的约数。 4、当然约数与真约数
在非零整数 a的约数中， 1与 a叫做a的当然约数， 其余约数叫做 a的真约数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
5、整除与除尽 有理数范围内
整除 除尽
求证：m+n与m-n中有一个且仅有一个是3的倍数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】
【例5】已知2761除以某自然数，余数不为零，不完全 商为95，求除数与余数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】 【例6】有一自然数，用它去除63、91、129得到三个余
数之和为25，求这个 b是a的约数(因数)。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
2、关于整除、约数和倍数的几点注意： ①、整除概念强调的是整数a与b的关系。也就是说a与 b之间具有或不具有整除关系，但不管商的大小； ②、约数与倍数是相互依存的； ③、非零整数的约数(因数)是有限的，0的约数(因数) 是无限的；
除尽 整除
整数范围内
整除 除尽
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【例1】试用列举法写出下列各集合的元素。 A={18的正约数}；B={25的正约数}； 【问题】 1、一个数，它的约数的个数问题能确定吗？ 2、如何保证所有约数一个不漏的写出来？ 【结论】
若N p p ... p 其中p (i 1,2...n) 为质数，
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】 【例7】
若ax by 是形为ax by的数中的最小正数，
0 0
其中x、y是任意整数，a、b是两个全不为零 的整数。则 (ax by ) | (ax by)
0 0
The end
2013-10-26
《数论初步》(2)
第一章
整数的整除性
第一部分 整除的概念
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
一、 整除、约数与倍数
1、整除、约数与倍数的概念
a, b Z , 其中b 0, q Z, 使得a bq,
则说 b能整除 a。
或说a能被b整除。记作b | a
否则，记作 | a b
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
二、带余数除法
【定理1】(带余数除法) 设a与b是两个整数，b>0，则存在唯一的两个整数 q和r，使得 a = bq r，(0 r < b) 成立，而且q与r是唯一的。 (1)
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】
【例4】设m、n都不是3的倍数，m>n，
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【例2】已知非负整数a小于整数b(b≠0)，且b|a， 试求a的值。 【结论】 能被比自己大的整数整除的非负整数一定是0!
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【例3】设a、b为两个整数，ab>0且a|b、b|a，
求证：a=b
【问题】 若ab>0这个条件缺少的话，结论又如何？
1 2 n
1 2 n i
则N的所有约数个数为： ( 1)( 1)...( 1)
1 2 n
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【利用mathematica求一个数N的所有正约数】
格式：Divisors[N] 【例1】 A={18的正约数} In:Divisors[18] Out:{1,2,3,6,9,18}