知识框架」、整除的定义：当两个整数a和b （b工0, a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a,也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a,记作b a.二、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3X2 = 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 —9>2= 595 , 59- 5X2= 49,所以6139是7的倍数，余类推。

8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.整除问题（ABC级）.学生版Page 1 of 149. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

10. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。

如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

11. 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

12. 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除.13. 若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）三、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除•即如果c| a,c | b,那么c | （a±D）•性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a,c l b，那么c I a.用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除.即如果bc I a，那么 b I a，c I a.性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除.即如果 b I a， c I a，且（b，c）=1，那么bc I a.例如：如果 3 I 12，4 I 12,且（3，4）=1，那么（3 冶）I 12.性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果 b | a，那么bm | am （m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除.如果b | a，且d | c ，那么bd |ac;四、其他重要结论1、能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。

我们可以概括成一个性质：未n位数能被2n（或5n）整除的数，本身必能被2n（或5n）整除；反过来，末n位数不能被2n（或5n）整除的数，本身必不能被2n（或5n）整除。

例如，判断19973216、91688169能否能被16整除，只需考虑未四位数能否被16 （因为16= 24）整除便可，这样便可以举一反三，运用自如。

2、利用连续整数之积的性质：任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2X3=6整除。

MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数•数论.整除问题（ABC级）•学生版Page 2 of 14这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

3、一个奇位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的差一定是9的倍数。

4、7 11 13 1001；abc 1001 abcabc，abcabc 这样的数一定能被7、11、13 整除。

5、91 13 7;133 19 7;481 37 13;13 9 117;37 3 111;37 27 999等等。

重难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。

要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。

例题精讲【例1】975 935 972 □，要使这个连乘积的最后4个数字都是0,那么在方框内最小应填什么数?【巩固】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0?【例2】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【巩固】201 202 203 LL 300的结果除以10,所得到的商再除以10……重复这样的操作，在第___ 次除以10时，首次出现余数.MSDC模块化分级讲义体系Page 3 of 14六年级奥数.数论.整除问题（ABC级）.学生版【例3】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少?【巩固】用1〜9这九个数字组成三个三位数（每个数字都要用），每个数都是4的倍数。

这三个三位数中最小的一个最大是。

【例4】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4 口32 □是9的倍数•请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。

【巩固】一个六位数2 口口727被3除余I，被9除余4，这个数最小是MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数•数论•整除问题（ABC级）.学生版Page 4 of 14【例5】 连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011……20072008 ,请说明：这个多位数除以 3,得到的余数是几？为什么？【巩固】 1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是 ____________【例6】1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开， 分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是 193426857和758624391） •如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？而不被81整除的最小数是 ________【巩固】207 , 2007, 20007, L 等首位是2，个位是7 ,中间数字全部是 0的数字中，能被27整除3MSDC 模块化分级讲义体系 六年级奥数•数论.整除问题（ABC 级）•学生版 Page 5 of 14三、7、11、13系列【例7】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865:②9866 :③9867:④9868 :⑤9869•这两个4位数的和到底是多少？【巩固】8ab8ab8ab8ab8ab是77的倍数，则ab最大为____________ ?【例8】三位数的百位、十位和个位的数字分别是5, a和b,将它连续重复写2008次成为：5a454bL 4-45gb .2009个5ab 如果此数能被91整除，那么这个三位数50b是多少？【巩固】称一个两头（首位与末尾）都是1的数为两头蛇数”。

一个四位数的两头蛇数”去掉两头, 得到一个两位数，它恰好是这个两头蛇数”的约数。

这个两头蛇数”是 ___________________________________ ° （写出所有可能）MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数•数论•整除问题（ABC级）.学生版Page 6 of 14由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果【例9】学生问数学老师的年龄老师说:就是我的年龄。

”老师今年_________ 岁。

【巩固】已知两个三位数abc与def的和abc def能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37整除.【例10】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865;②9867:③9462:④9696:⑤9869.这两个4位数的和到底是多少？【巩固】一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是__________ ? MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.整除问题（ABC级）.学生版Page 7 of 14【例11】在六位数11 □口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？【巩固】将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的除以667的结果是多少?【例12】若4b 2c d 32，试问abed能否被8整除？青说明理由.【例13】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为10,乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_____________MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版Page 8 of 146位数，那么，这个6位数【巩固】证明abede能被6整除，那么2(a bed) e也能被6整除.1031 .如果甲数的数字和为有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值【巩固】【例14】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1, 2,…，12 •他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【巩固】用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。