最值类1．【2012•黔东南州】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长，并求MN长的最大值．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：(1)设抛物线的解析式为y=-x*2+2x+3(2)设直线BC的解析式为y=a(x+1)(x-3)则a(0+1)(0-3)=3,a=-1∴抛物线的解析式y=kx+b则有3k+b=0,b=3;k=-1,b=3故直线BC的解析式y=-x+3已知点M的横坐标为m则M(m,-m+3)、N(m,-m*2+2m+3)∴故N=-m*2+2m+3-(-m+3)=-m*2+3m(0＜m＜3）（△3）∵S BNC=S△MNC+S△MNB=1/2MN（OD+DB)=1/2MN•OB∴S BNC=1/2(△-m2+3m)•3=-3/2(m-3/2)×2+27/8（0＜m＜3)∴当m=3/2时△BNC的面积最大,最大值为27/82．【2012•恩施州】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．带入A，C坐标到抛物线：-1-b+c=0-4+2b+c=3b=2，c=3,抛物线y=-x^2+2x+3直线有两点更简单了根据A坐标，y=k(x+1),带入C坐标y=x+1D(1,4),N(0,3)MN+MD如果构成三角形，肯定大于ND，但是如果M同ND共线，并且在线段N D上，那就最小了，当然由于M横坐标比N和D都大，这个假设不可能由于M在直线x=3上面，所以考查D关于x=3的对称点D'(5,4),连接ND‘交于x=3的点就是取得最小值的M点。

B点坐标可以求出，E（m,m+1）的话，EF方程x=m，求出x=m与抛物线焦点，然后判断BD长度和EF长度，算出m值，有解的话就可以，没的话就不能。

P点坐标可以设为(n,-n^2+2n+3)，求出P到AC的最大距离就可以得到最大面积。

3．【2012•湘潭】如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解答：1、将B点坐标代人解析式得：a=½，∴抛物线解析式为：y=½x²－﹙3／2﹚x－22、由抛物线解析式得到：A、C点坐标为A﹙－1，0﹚、C﹙0，－2﹚.。

对称轴x=3／2，由BC两点坐标可以求得BC直线方程为：y=½x－2还可以求得：BC中点D的坐标为D﹙2，－1﹚设圆心Q点一定在BC的中垂线上，也一定在抛物线对称轴上，∴QD的直线方程可以设为：y=－2x＋b将D点坐标代人直线解析式得：b=3∴QD的直线方程为：y=－2x＋3将x=3／2代人解析式得：y=0∴圆心坐标为Q﹙3／2，0﹚.。

3、过M点作MP∥BC，且与抛物线相切﹙与抛物线只有一个交点﹚，则这时候的△MBC的面积最大。

设M点坐标为M﹙m，n﹚，MP的直线方程可以设为：y=½x＋p将M点坐标代人得：①n=½m＋p将M点坐标代人抛物线解析式得：②n=½m²－﹙3／2﹚m－2将①代人②化简得：m²－4m－4－p=0∴由Δ=﹙－4﹚²－4﹙－4－p﹚=0∴p=－8∴m²－4m＋4=0∴m=2∴n=－3∴M点坐标为M﹙2，－△3﹚时MBC的面积最大。

4：（以2009年河南中考数学压轴题）， t 2= ，t 3=． …………………11 分（2）连结 PO 、PC ，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP C ， 那么是否存在点 P ， 使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线 y=ax 2+bx 过 A 、C 两点.(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向 终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE ⊥AB 交 AC 于点 E.①过点 E 作 EF ⊥AD 于点 F ，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?②连接 EQ ．在点 P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的 t 值.解：(1)点 A 的坐标为（4，8）…………………1 分将 A(4，8)、C （8，0）两点坐标分别代入 y=ax 2+bx得 8=16a+4b0=64a+8b解得 a=-∴抛物线的解析式为：1 2,b=4y=- 1 2x 2+4x …………………3 分PE BC PE 4（2）①在 △R t APE 和 △R t ABC 中，tan ∠PAE= = ,即 =AP AB AP 81 1 1∴PE= AP= t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+t ，8-t ）.2 221 1 1 1 ∴点 G 的纵坐标为：-（4+ t ）2+4(4+ t ）=- t 2+8. …………………5 分22 281 1 ∴EG=- t 2+8-(8-t) =- t 2+t.881 ∵- ＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2.…………………7 分 8②共有三个时刻.…………………8 分t 1= 16 40 8 53 13 2 + 55．(2010 年恩施) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数y = x 2 + bx + c的图象与x 轴交于 A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于C （0，-3）点，点 P 是直线 BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．//（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.（1）将B（3，0），C（0，-3）代入y=x²+bx+c得0=9+3b+c-3=c，b=-2，y=x²-2x-3=（x-1）²-4，令x²-2x-3=0，（x-3)(x+1)=0∴B（3，0）A(-1，0）（2）设直线L∥BC且与y相切，切点为P，即P到直线BC距离最远，设直线L：y=x-m，联立：x²-2x-3=x-m，x²-3x+m-3=0Δ=3²-4（m-3）=0m=21/4.，∴x²-3x+21/4-3=0（x-3/2)²=0，x=3/2，y=-15/4，∴P（3/2，-15/4）两条平行线距离：（21/4-3）×√2/2=9√2/8，△BCP面积S=3√2×9√2/8×1/2=27/8.（3）过A作AQ⊥AC交于y，由LAC：y=-3x-3，∴LAQ：y=1/3（x+1）得：x²-2x-3=1/3x+1/33x²-7x-10=0（3x-10）(x+1)=0x1=10/3,,y1=4/3,∴Q1（10/3,，13/9）（x=-1是A点）过C作CQ⊥AC交于y，由LCQ：y+3=1/3x x²-2x-3=1/3x-33x²-7x=0，x=7/3，y=-2/3，∴Q2（7/3，-20/96．（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．（ 3 3 3 37、（2010 眉山）如图，△RtABO 的两直角边 OA 、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（ -3 ，0）、 0，4），抛物线 y = 2 3x 2+ b x + c 经过 B 点，且顶点在直线 x = 5 2上．（1）求抛物线对应的函数关系式； （△2）若 DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 A BCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作 MN 平行于 y 轴交CD 于点 N ．设点 M 的横坐标为 t ，MN 的长度为 l ．求 l 与 t 之间的函数关系式， 并求 l 取最大值时，点 M 的坐标．yBCNMAO D Ex解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 y =2 5( x - )2 + m 3 2∴ 4 = 2 5 1⨯ (- )2 + m ，∴ m = - ，3 2 62 5 1 2 10∴所求函数关系式为： y = ( x - )2 - = x 2 - x + 43 2 6 3 3（2）在 △Rt ABO 中，OA =3，OB =4，∴ AB = OA 2 + OB 2 = 5∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC =CD =DA =AB =5∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． 2 10当 x = 5 时， y = ⨯ 52 -⨯ 5 + 4 = 43 3y2 10当 x = 2 时， y = ⨯ 22 - ⨯ 2 + 4 = 0 3 3∴点 C 和点 D 在所求抛物线上．BNC（3）设直线 CD 对应的函数关系式为 y = kx + b ，则M⎧5k + b = 4 4 8⎨，解得： k = , b = - ． ⎩2k + b = 03 3 AO DE x∴ y = 4 8x - ，∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为 t ，∴N 点的横坐标也为 t ．3 32 10 4 8则 y = t 2 - t + 4 ， y = t - ，M N∴ l = y - y = t - - t 2 - t + 4 ⎪ = - t 2 + t - 4 8 ⎛ 2 10 ⎫ 2 14 20 2 7 3 3 3 ⎝ 3 3 3 3 3 3 2 2 ⎭（ 解：（1）由题意，得 ⎨解得 a = - ，b =－1． ⎩4a + 2b + 4 = 0,所以抛物线的解析式为 y = - x 2 - x + 4 ，顶点 D 的坐标为（－1， ）．13 ． 而 CD = 12 + ( - 4) 2 =设直线 BD 的解析式为 y = k 1x + b ，则 ⎪⎨ 9 ⎩所以直线 BD 的解析式为 y = - x + 3．同理可求得直线 EF 的解析式为 y = 1 x + ．3 15（3）设 K （t ， - t 2 - t + 4 ），x F ＜t ＜x E ．过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N ．= - (t - )2 +N M2 73 7 1- < 0 t = l = ∵ 3 ， ∴当 2 时， 最大 2 ，此时点 M 的坐标为（ 2 ， 2 ）．32、 2010 绵阳）如图，抛物线 y = ax 2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A （－4，0）、B （2，0），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ．E （1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；D yCG E（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， A△EFK 的面积最大？并求出最大面积．F O B x⎧16a - 4b + 4 = 0, 1 21 92 2（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ．因为 EF 垂直平分 BC ，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B ，连结 BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H ，使 DH + CH 最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = BM 2 + DM 2 =∴ △CDH 的周长最小值为 CD + DR + CH = 3 25 + 3 13 2．9 5 2 2 ．⎧2k + b = 0, 1 1 ⎪- k 1 + b 1 = 2 , 解得 k = -1 3 2，b 1 = 3．3 2由于 BC = 2 5 ，CE = BC ∕2 = 5 ，△Rt CEG ∽△COB ，得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G （0，1.5）．3 2 2联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点 H （ ， ）． 4 81 2则KN=y K－y N=-t2-t+4－（t+）=-t2-t+．所以△SEFK =△SKFN+S△KNE=KN（t+3）+KN（1－t）=2KN=－t2－3t+5=－（t+ 329329335113135 222222 1122）2+．即当t=－时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．242428。