2 g 2 h( x, y ) * f ( x, y ) ( 2 h * f ( x, y ) r
2 2

4
)e

e2 2 2
* f ( x, y )
这样，利用二阶导数算子过零点的性质，可确 定图像中阶跃边缘的位置。 2h 称为高斯－拉普拉斯滤波算子，也 称为LOG滤波器，或“墨西哥草帽”。

离散形式： 模板：


可以用多种方式被表示为数字形式。对于一个3x3 的区域，经验上被推荐最多的形式是：
0 -1 0
-1 4 -1
0 -1 0
定义数字形式的拉普拉斯的基本要求是，作 用于中心像素的系数是一个正数，而且其周 围像素的系数为负数，系数之和必为0。
0 -1 0 -1 4 -1 (a) 0 -1 0 -1 -1 -1 -1 8 -1
h ( x, y ) e
x2 y2 2 2
其中σ是方差。用h(x,y)对图像f(x,y)的平滑 可表示为：
g ( x, y ) h( x, y ) * f ( x, y )
*代表卷积。令r是离原点的径向距离，即 r2=x2+y2。对图像g(x,y)采用Laplacian算子进 行边缘检测，可得：

拉普拉斯算子——二阶导数算子

定义：

二维函数f(x,y)的拉普拉斯是一个二阶的微分定义 为： 2f = [2f / x2 , 2f / y2]
2 f ( x, y) f ( x 1, y) f ( x 1, y) f ( x, y 1) f ( x, y 1) 4 f ( x, y)
-5 -5 0 3 -5 3
-5 -5 -5 3 0 3

特点
在计算边缘强度的同时可以得到边缘的方向 各方向间的夹角为45º


分析
取其中最大的值作为边缘强度，而将与之对应 的方向作为边缘方向； 如果取最大值的绝对值为边缘强度，并用考虑 最大值符号的方法来确定相应的边缘方向，则考 虑到各模板的对称性，只要有前四个模板就可以 了。

模板
-1
-2 -1
0
0 0
1
2 1
-1 -2 -1
0 1 0 2 0 1

特点：

对4邻域采用带权方法计算差分 能进一步抑止噪声 但检测的边缘较宽

Sobel梯度算子的使用与分析
1. 直接计算y、x可以检测到边的存在， 以及从暗到亮，从亮到暗的变化 2. 仅计算|x|，产生最强的响应是正交 于x轴的边； |y|则是正交于y轴的边。 3. 由于微分增强了噪音，平滑效果是Sobel 算子特别引人注意的特性
Kirsch算子（方向算子）

模板
-5 -5 -5 3 3 3 3 0 3 3 0 3 3 3 3 -5 -5 -5 3 -5 3 0 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 0 3 -5
-5 -5 3 3 3
-5 -5 -5 -5 -5 -5 3 3 0 3 3 3
-5 -5 3 3 3
-1 -1 -1 (b)

拉普拉斯算子的分析：

优点：

各向同性、线性和位移不变的； 对细线和孤立点检测效果较好。 对噪音的敏感，对噪声有双倍加强作用； 不能检测出边的方向； 常产生双像素的边缘。

缺点：

由于梯度算子和Laplace算子都对噪声敏感，因此一 般在用它们检测边缘前要先对图像进行平滑。
6.2 边缘检测算子

边缘检测是所有基于边界的图像分割方法的第一步。 边缘是灰度值不连续的结果，这种不连续常可利用 求导数方便地检测到。一般常用一阶和二阶导数来 检测边缘。

边缘的定义：
图像中像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的那 些像素的集合,图像局部亮度变化最显著的部分。

边缘的分类

阶跃状、脉冲状、屋顶状
，
特点： 与高斯滤波器进行卷积，既平滑了图像又降 低了噪声，孤立的噪声点和较小的结构组织将被 滤除。 在边缘检测时仅考虑那些具有局部梯度最大 值的点为边缘点，用拉普拉斯算子将边缘点转换 成零交叉点，通过零交叉点的检测来实现边缘检 测。
Canny（坎尼）算子
3个准则： 信噪比准则 定位精度准则 单边缘响应准则
(4)
(5)
第6章
，有 P( Ri R j ) FALSE
对i = 1, 2, …, n，Ri是连通的区域

图像分割的基本策略



分割算法基于灰度值的两个基本特性：不连续性 和相似性。 区域内部的像素一般具有灰度相似性，而在区域 之间的边界上一般具有灰度不连续性。 检测图像像素灰度级的不连续性，找到点、线 （宽度为 1 ）、边（不定宽度）。先找边，后确 定区域。
例子
原始图像
梯度算子
Roberts算子
Prewitt算子
Sobel算子
Kirsch算子
Laplacian算子
Marr算子
曲面拟合法
Sobel
Robert Canny
Prewitt
LOG
边缘检测算子的对比
在数字图像处理中，对边缘检测主要要求就 是运算速度快，边缘定位准确，噪声抑制能力强， 因此就这几方面对以上介绍的几个算子进行分析 比较。首先，在运算速度方面，对于一个图像， 其计算量如表所示。
二维LOG函数 2h
-σ
σ
一维LOG函数及其变换函数
2 4 4 4 2
4 0 8 0 4
8 0 4 24 8 4 8 0 4 4 4 2 4 4 2
图 LOG算子的5×5模板
2016/5/16

2016/5/16
2016/5/16

根据实际测试结果，简单介绍各个算子的特点。 1.Roberts算子 Roberts算子利用局部差分算子寻找边缘，边 缘定位精度较高，但容易丢失一部分边缘信息，同 时由于没经过图像平滑计算，因此不能抑制噪声。 该算子对具有陡峭的低噪声图像响应最好。
2016/5/16
为了检测边缘点，选取适当的阈值T，对梯度图 像进行二值化，则有：
1 g ( x, y ) 0
Grad(x,y) T 其它
这样形成了一幅边缘二值图像g(x,y) 特点：仅计算相邻像素的灰度差，对噪声比较
敏感，无法抑止噪声的影响。
Roberts算子

公式：
f x f ( x 1, y 1) f ( x, y ) f y f ( x 1, y ) f ( x, y 1)

模板：
fx’
-1 1 fy’
1
-1

特点：

与梯度算子检测边缘的方法类似，对噪声敏感，但 效果较梯度算子略好
Prewitt算子

公式
f x f ( x 1, y 1) f ( x 1, y) f ( x 1, y 1) f ( x 1, y 1) f ( x 1, y) f ( x 1, y 1) f y f ( x 1, y 1) f ( x, y 1) f ( x 1, y 1) f ( x 1, y 1) f ( x, y 1) f ( x 1, y 1)
来自图像分割也是目前公认的图像处理难题，其困难 源于图像内容的多样性以及模糊、噪声等的干扰。 至今还没有普适性分割方法和通用的分割效果评 价标准，分割的好坏必须结合具体应用来评判。 总体而言，一个好的图像分割算法应该尽可能具 备以下特征： (1) 有效性：对各种分割问题有效的准则，能将 感兴趣的区域或目标分割出来。 (2) 整体性：即能得到感兴趣区域的封闭边界， 该边界无断点和离散点。 (3) 精确性：得到的边界与实际期望的区域边界 很贴近。 (4) 稳定性：分割结果受噪声影响很小。

图像分割的基本策略

检测图像像素的灰度值的相似性，通过选择阈值， 找到灰度值相似的区域，区域的外轮廓就是对象 的边
图像分割方法和种类
以不同的分类标准，图像分割方法可以划分为不同的 种类。
图像分割应用
机器阅读理解 OCR录入 遥感图像自动识别 在线产品检测 医学图像样本统计 医学图像测量 图像编码 图像配准的预处理
8.1 8.2 8.3 8.4
图像分割定义和技术分类 并行边界技术 串行边界技术 并行区域技术
8.5
串行区域技术
6.1 图像分割定义和技术分类
图像分割定义
可借助集合概念
(1)
i 1
Ri R
Ri R j
n
(2)
(3)
对所有的i和j， i j ，有 对 i j
对i = 1, 2,…, n，有P(Ri ) = TRUE
阶跃状
屋顶状
各种边缘其一阶、二阶导数特点 图像：
剖面： 一阶 导数： 二阶 导数：

一阶微分：用梯度算子来计算


特点：对于亮的边，边的变化起点是正的，结 束是负的。对于暗边，结论相反。常数部分为 零。 用途：用于检测图像中边的存在

二阶微分：通过拉普拉斯来计算

特点：二阶微分在亮的一边是正的，在暗的 一边是负的。常数部分为零。 用途： 1 ）二次导数的符号，用于确定边上的像素 是在亮的一边，还是暗的一边。 2）0跨越，确定边的准确位置
，
，
具体步骤： 首先用2D高斯滤波模板进行卷积以平滑图像； 利用微分算子，计算梯度的幅值和方向； 对梯度幅值进行非极大值抑制。即遍历图像， 若某个像素的灰度值与其梯度方向上前后两 个像素的灰度值相比不是最大，那么这个像 素值置为0，即不是边缘； 使用双阈值算法检测和连接边缘。即使用累 计直方图计算两个阈值，凡是大于高阈值的 一定是边缘；凡是小于低阈值的一定不是边 缘。如果检测结果大于低阈值但又小于高阈 值，那就要看这个像素的邻接像素中有没有 超过高阈值的边缘像素，如果有，则该像素 就是边缘，否则就不是边缘。