综述：PDE图像分割技术沈民奋汕头大学工学院，广东省图像处理重点实验室，汕头 515063摘要：偏微分方程（PDE's）图像处理在图像处理的各个方面已经得到了广泛的应用，该方法通常与水平集方法配合使用。

在图像分割方面提出了许多基于偏微分方程（PDE's）的方法，比如，M-S分片光滑法，C-V无需边缘的活动围线法，P-D测地活动区域组等等。

本文追踪偏微分方程（PDE's）图像分割的发展，回顾偏微分方程（PDE's）图像分割领域的重要文献，也简述了偏微分方程（PDE's）图像分割中的数值技巧。

从本文的综述可以看出，当前偏微分方程（PDE's）图像分割的主要发展趋势有三个方面：将图像分割的边界特征和区域特征相结合；建立新的水平集方法来实现偏微分方程（PDE's）图像分割；将偏微分方程（PDE's）图像分割技术与传统技术如贝叶斯方法相结合。

关键词：偏微分方程，图像分割，水平集，活动围线，综述中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：0 引言图像分割是图像分析和计算机视觉中一个基本处理环节。

这方面的文献很多。

本文主要关注偏微分方程（PDE）图像分割的最新进展。

方程的建模通常是根据变分法寻找一个使能量泛函最小化的函数，并辅之以水平集技术。

尽管本文主要综述关于二维灰度图像的分割方法，由于偏微分方程图象处理的固有优势，这些方法往往很容易推广到彩色图像分割或序列图像的运动追踪问题[1,5,29,30,33,35,41]。

传统的图像分割方法，无论是基于时域还是频域的分割，总是利用图像中的灰度边界信息或灰度同质区域进行分割图像。

偏微分方程图像分割也是基本如此。

从根本上说，偏微分方程图像处理是基于对图像的确定性描述，近年来，许多研究人员试图把概率性描述的一些手段与偏微分方程图像处理相结合。

最早的偏微分方程图像分割借助于各向异性的灰度扩散技术，扩散的结果是使得原输入图象变换成为由一些分片光滑的灰度同质区域所组成的近似图像，从而更容易分割出图像中的不同区域。

后来，随着水平集方法的提出，曲线演化和传统的参数型曲线演化相比，变得更加方便和有效。

因此，曲线演化或称活动围线模型成为图像分割的主流。

此后，偏微分方程活动围线的发展主要在于两个方面：多相活动围线和边界无关的活动围线模型。

最近，活动围线和先验形状信息相结合的方法也相继被提出。

另一方面，偏微分方程图像分割的技术改进也来自于新的数值技巧，比如改进传统的水平集方法；多尺度水平集技术；甚至完全抛开水平集方法而寻找方程的直接数值求解。

偏微分方程图象处理的一般方法是这样的：给定一个问题，在特定准则下最小化一个能量泛函，使得最小化函数即为问题的解。

以图像分割为例，这些准则通常是图像中的灰度边缘信息或灰度同质区域信息；其次，根据这些准则确立一个能量泛函，使得仅在我们所期望达到的分割边界上该能量泛函达到最小；然后，从最小化问题中推导出相应的欧拉-拉格朗日方程（组），方程的解的存在性往往需要专门给出证明；最后，使用适当的数值技术求解这个方程（组）。

偏微分方程图象处理确实能够提供与传统图象处理手段所不同的处理方法和效果，尤其对于复杂的图像分割问题显得灵活和有效。

最近偏微分方程图象处理的繁荣就是由于它所能够提供灵活多样的，而且往往是传统处理方法所不能企及的处理性能。

过去二十年来，有很多偏微分方程图像分割的文章相继发表，有基于边缘或测地边缘的活动围线模型，分片光滑的灰度同质区域分割模型，和结合其它方法（如贝叶斯方法）的偏微分方程图像分割模型。

读者也可以参考近年来发表的关于偏微分方程图象处理或偏微分方程图像分割的综述[3,7,16,18,43,46]。

本文结构如下：第1-3节回顾一些典型的偏微分方程图像分割模型，其中，第1节是关于借助于各向异性的灰度扩散模型；第2节回顾活动围线模型的发展历程和发展趋势；第3节介绍几个多相水平集方法，包括将偏微分方程图象处理技术与图像先验信息相结合的具体算法；最后第4节是对本综述的总结。

1 各向异性灰度扩散模型热传导方程是第一个和图像处理联系起来的偏微分方程。

简单地说，热传导方程起到像素平滑的作用；逆向热传导方程起到边缘增强的作用；利用偏微分方程实现各向异性灰度扩散，很容易将原始图象变换成几个灰度同质区域，我们把这一思想引入到图像分割中来，就是先通过各向异性灰度扩散将原输入图象变换成一个分片光滑的近似图像，然后对这一近似图像进行分割。

根据Gabor 的研究结果[51]，平滑之后的图像与原始图像的差值基本上与输入图像的拉普拉斯成比例。

即)()()()(000x u hx u x u x K h ∆→-* (1) 其中，0u 为初始图像，)(x K h 是平滑窗函数，h 是平滑窗的大小，x 是图像中像素的坐标向量。

因此，随着h 逐渐减小，这一方程就演变为一个热传导方程。

u tu ∆=∂∂， 0)0(u u = (2) 沿着这一思路逆推，当我们把热传导方程沿着时间轴逆推回去，其作用应该相当于对图像进行去模糊处理(deblurring)，也就是边缘增强。

这一“逆向热传导方程”可以表示为，u tu ∆-=∂∂， observed u u =)0( (3) 但是由于逆向热传导方程的病态超定问题，重复进行上述过程将导致发散。

具有实用价值的模型是由此改进的各种非线性的偏微分方程模型。

Perona 和Malik 提出的非线性的偏微分方程模型是一个优秀的代表[51]，他们建立方程的思想是平滑均匀区域的像素值，同时增强边界信息。

该方程的形式如下：))((2Du g div tu =∂∂ (4) 其中灰度边缘检测函数211)(s s g λ+=，g 随着s 的增加而减小。

将上述方程作如下变形可以容易看出它的物理意义。

考虑图像某点处的灰度梯度方向Du 上关于像素值的二阶导数),(2DuDu Du Du u D u =ηη (5) 以及与灰度梯度方向相垂直的灰度保持方向⊥Du 上关于像素值的二阶导数： ),(2Du Du Du Du u D u ⊥⊥=ξξ (6) 其中Du =),(y x u u ，⊥Du =),(x y u u -，两个方向相正交，图像的拉普拉斯可以由上述两个方向上的二阶变量表出：ηηξξu u u +=∆。

于是Peroma-Malik 方程可以变形为：2222222)1()1(1Du u Du Du u t u λλληηξξ+-++=∂∂ (7) 其中的第一项受灰度梯度影响，总是一个沿着灰度变化的垂直方向（即灰度保持方向）扩散的一维热传导方程；而根据第二项，在灰度梯度方向上，当Du ≤λ时相当于热传导方程，当Du >λ时相当于逆向热传导方程。

所以该模型的好处就是在于它同时统一地表达了热传导方程和逆向热传导方程，从而实现了非各向同性的灰度值扩散，即可以保持轮廓信息的平滑处理。

也就是说，当Du 比较小的时候，方程相当于热传导方程，起到像素平滑的作用；而当Du 比较大的时候，方程相当于逆向热传导方程，起到边缘增强的作用。

这一处理使得图像的表达既精减又精确，称为保边界的各向异性热传导方程。

类似的模型还有[31,32,37,41,42]。

这类模型的主要优点是对图像信息的表达做精简，即所谓稀疏化(sparse)。

图像表达稀疏化的结果，是使得图像中的噪声以及非常不易觉察的细节信息被滤除，而主要地保留较大尺度上的轮廓信息，从而有利于正确分割。

2 活动围线模型通常利用能量最小化方法建立一个活动围线模型。

约束能量泛函最小化的因素主要有两个方面：一方面曲线的内在约束保持曲线演化过程中曲线的光滑性；另一方面来自图像特征（整体的或局部的）约束引导着曲线从初始位置（任意的或特定的）向着期望的边界位置演化。

本文讨论的活动围线模型都是借助于水平集方法实现的，这与传统的参数化活动围线模型相比，更好地解决了对曲线演化过程中拓扑结构的变化，以及对初始围线位置的敏感性。

在水平集方法中，曲线C 由一个里布齐兹连续的零水平集函数ℜ→ℜ2:φ表示。

}0)(:{)(""}0)(:{)(""}0)(:{222<ℜ∈=>ℜ∈==ℜ∈=x x C outside x x C inside x x C φφφ (8)2.1 基于边缘信息的活动围线模型活动围线模型的发展，最初是利用参数描述的曲线演化；后来发展起了利用水平集的无参数活动围线模型；当Chan-Vese 提出了基于水平集的边缘无关活动围线模型，以及后来的Vese-Chan 边缘无关活动围线组模型，研究者们通常把这些依赖于灰度边缘信息的活动围线模型成为“传统”活动围线模型。

这些模型中，活动围线的最终位置依赖于该物体边界上的灰度变化程度。

活动围线模型[50] 可以表示为：)(inf 1C J C ，其中 ⎰⎰∇+=1010202'1)))((()()(ds s C u g ds s C C J λ (9)其中，λ是正的任意常数，0u 表示一个给定的图像，)(s C : [0,1]2ℜ→表示一个分片一阶可导的曲线，)(0u g ∇是上节提到的一个正的单调递减函数作为边界检测函数, 使得 )(lim t g t ∞→=0。

上式中的第一项表示曲线的内部能量，它制约着曲线在演化过程中始终保持适度光滑；第二项表示曲线的外部能量，它使得曲线逐渐向着图像0u 待分割物体的边界位置移动。

从上述能量最小化泛函推倒出相应的欧拉-拉格朗日方程，我们就可以通过求解方程使得曲线最终演化到我们期望的边界位置上。

移动的速率大小通常有三种来源，曲率速度，常量速度和对流速度。

在图像分割中比较常用的是前两种演化速率。

借助于水平集方法实现的无参数活动围线模型都是通过对零水平集函数0φ的演化而实现曲线演化，演化速度通常是沿着与零水平集相正交的方向（法线方向）。

第一个平均曲率演化模型是由Osher-Shah 提出的[49]，几何活动围线模型可以看作是对平均曲率演化模型的改进。

我们以Caselles 等提出的几何活动围线模型为例[46]。

))(()(0v div u g t +∇∇∇∇=∂∂φφφφ in 2],0[ℜ⨯∞ (10.1))(),0(0x x φφ= in 2ℜ (10.2)其中 )(0u g ∇是我们前面已经提到的边界检测函数，v 是一个正的常数，0φ是初始水平集函数。

零水平集曲线（活动围线）沿着法线方向以速率)))(()((0νφκ+∇x u g 移动，最终理想地停止在所期望的边界上（g =0处）。

常量v 使得演化速度恒为正值，而仅在g =0处活动围线停止移动，这对于处理个别点的曲率函数为零（或为负值）而又不属于我们所期望的边界处的情况特别有效；而且，在曲线需要演化的位置上，常量v 的引入有效地加快了活动围线的演化进程。