第三讲三角形的角与边
一、基础知识
本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.
1.边与边的关系
(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；
(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.角与角的关系
(1)三角形的内角和为180︒；
(2)直角三角形中两锐角互余;
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.
3.边和角的关系
(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;
(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.
4.不等式变形时常用的性质
(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;
(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;
(3)若a>b,c>0,则ac>bc;
若a>b,c<0,则ac<bc;
(4)若a>b>0,则11 a b <
;
(5)总量大于任何一个部分量.
5.三角形中的不等关系根源:
(1)两点之间线段最短;
(2)垂线段最短.
二、例题
第一部分边的问题
例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.
例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.直角三角形或等腰三角形
例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )
A.3
1 4
k
<<
B.
1
1
3
k
<<
C.12
k
<< D.
1
1
2
k
<<
例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )
A.17cm
B.5cm
C.17cm或5cm
D.无法确定
例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,
求证:
1
()
2
AB AC BC PA PB PC AB AC BC
++<++<++.
例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.
例7. (★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:
444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ∆是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
第二部分 角的问题
例8. (★★)如图3-4,在三角形ABC 中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求
BDC ∠的度数.
例9. (★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的
取值范围是( )
A.003645β≤≤
B.004560β≤≤
C.006090β≤≤
D.004572β≤≤
例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ；DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线
交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠
第三部分边角综合
24,例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大0 的取值范围是( ).
则A
例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中，AB>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于点D.
求证:(1)AB+AC>AD+BC;
(2)AB+AC>AP+BP+CP.
例13. （★★★★）如图，在三角形ABC中，角A=90度，AD垂直于BC，求证：AB+AC<AD+BC
例14.（★★★★）如图，在三角形ABC中，AC>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证：AF=AG
例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,
求证:
60 aA bB cC
a b c
︒++
≥
++
三、练习题
1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足m n p
≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?
2.(★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( )
** B.7 C.6 D.4
3.(★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )
A.1个
B.3个
C.5个
D.7个
4.（★ 2002，云南省中考题）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是acm，则a的取值范围是( ).
5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )
A.140︒
B.80︒或100︒
C.100︒或140︒
D.80︒或140︒
6. (★★★)如图3-5,在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ︒∠=则图中与BC 等长的线段是( ) A.CD B.BD C.CE D.AE-BE
7. (★★★)如图3-6,在ABC ∆中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ︒
∠=.则A ∠等于
( )
A.50︒
B. 60︒
C. 70︒
D.80︒
8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5︒∠=,295︒∠=,338.5︒
∠=求4∠的大小.
9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ︒∠=,110BGC ︒
∠=,求A ∠的度数.
10. （★★★★）如图，三角形ABC 中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ，求证：BP=2PQ
课外小故事
五枚金币
有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.
珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.。